Question

二次函數(shù)y=ax²+bx+c的最大值為

13

6

，其圖象經(jīng)過A（0，-2），B（5，-2）．若點C在x軸上，∠ACB=90°，且CA＜CB，△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使點C的對應(yīng)點C′落在x軸上．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）求點B的對應(yīng)點B′的坐標(biāo)并判斷是否在該二次函數(shù)上．

Answer 1

考點：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征

專題：

分析：解：（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得旋轉(zhuǎn)角相等，根據(jù)互余銳角三角函數(shù)的關(guān)系，可得∠B′CO的三角函數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)的定義，可得點B′的坐標(biāo)，根據(jù)把點的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，可得答案．

解答：解：（1）由題意，得

c=-2 25a+5b+c=-2 4ac-b2 4a = 13 6

解得

a=- 2 3 b= 10 3 c=-2

，
二次函數(shù)的解析式是y=-

2

3

x²+

10

3

x-2；
（2）如圖：
，
設(shè)C點坐標(biāo)是（x，0），由勾股定理，得
AC²=x²+（-2）²，BC²=（5-x）²+（-2）²，
AC²+BC²=AB²，
即[x²+（-2）²][（5-x）²+（-2）²]=25，
解得x=1或x=4（不符合題意的要舍去），
C（1，0）．
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得
∠C′AC=∠B′AB，AB′=AB=5．
sin∠CAO=

5

5

，cos∠CAO=

2 5

5

，
sin∠CAC′=2sin∠CAO•cos∠CAO=2×

5

5

×

2 5

5

=

4

5

，
cos∠CAC′=

3

5

，
∴sin∠BOB′=sin∠CAC′=

4

5

，cos∠CAC′=

3

5

．
由銳角的余角的三角函數(shù)關(guān)系，得
sin∠B′AE=cos∠CAC′=

3

5

，cos∠B′AE=sin∠CAC′=

4

5

，
AD=5×cos∠B′AE=5×

4

5

=4，EO=EA-AO=2．
B′D=5×sin∠B′AE=5×

3

5

=3，
B′（3，2），
把B′（3，2）代入y=-

2

3

x²+

13

6

x-2；
左邊=2，右邊=-

2

3

×3²+

13

3

×3-2=5，
左邊≠右邊，
點B′的坐標(biāo)不在該二次函數(shù)上．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，利用了待定系數(shù)法求解析式 利用了點的坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式，求解B′點的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．