Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為A（10，0〕，C（0，4〕，M是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)．
（1）當(dāng)PO=PM時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為______；
（2）當(dāng)△OPM是腰長(zhǎng)為5的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

解：

（1）如圖1，過(guò)P點(diǎn)作PD⊥OA，垂足為D，
∵M(jìn)是OA的中點(diǎn)，故OM=5，
∵PO=PM，PD⊥OA，
∴OD=OM=2.5，
故P點(diǎn)坐標(biāo)為（2.5，4），

（2）①如圖1，OM是等腰三角形的底邊時(shí)，P就是OM的垂直平分線與CB的交點(diǎn)，此時(shí)OP=PM≠5；
②如圖2，OM是等腰三角形的一條腰時(shí)：若點(diǎn)O是頂角頂點(diǎn)時(shí)，P點(diǎn)就是以點(diǎn)O為圓心，以5為半徑的弧與CB的交點(diǎn)，根據(jù)勾股定理可得P的坐標(biāo)是（3，4）．
如圖3，若M是頂角頂點(diǎn)時(shí)，P點(diǎn)就是以點(diǎn)D為圓心，以5為半徑的弧與CB的交點(diǎn)，根據(jù)勾股定理可得P的坐標(biāo)是（2，4）或（8，4）．

故P的坐標(biāo)為：（3，4）或（2，4）或（8，4）．
分析：（1）過(guò)P點(diǎn)作PD⊥OA，垂足為D，根據(jù)M是OA的中點(diǎn)，求出OM=5，又知PO=PM，PD⊥OA，于是求出OD=OM=2.5，P點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出．
（2）題中沒有指明△ODP的腰長(zhǎng)與底分別是哪個(gè)邊，故應(yīng)該分情況進(jìn)行分析，從而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查矩形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)的知識(shí)點(diǎn)，注意正確地進(jìn)行分類，考慮到所有的可能情況是解題的關(guān)鍵．