Question

如圖，?ABCD中，四個內(nèi)角的角平分線交于兩點E，F(xiàn)，連接EF．
（1）求證：△ABE∽△CDF．
（2）若AD=8，AB=5，試求線段EF的長．

Answer 1

考點：平行四邊形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)平行四邊形的對角相等可得∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD，再根據(jù)角平分線的定義可得∠ABE=

1

2

∠ABC，∠CDF=

1

2

∠ADC，從而得到∠ABE=∠CDF，同理，∠BAE=∠DCF，然后根據(jù)兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似證明即可；
（2）延長AE交BC于G，根據(jù)平行四邊形的鄰角互補和角平分線的定義求出∠BAE+∠ABE=90°，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AB=BG，根據(jù)等邊對等角可得∠BAE=∠BGE，再求出∠BGE=∠BCF，然后求出四邊形CFEG是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對邊相等可得EF=CG，然后求解即可．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD，
∵點E、F是四個內(nèi)角的平分線的交點，
∴∠ABE=

1

2

∠ABC，∠CDF=

1

2

∠ADC，
∴∠ABE=∠CDF，
同理，∠BAE=∠DCF，
∴△ABE∽△CDF；

（2）解：如圖，延長AE交BC于G，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∵點E、F是四個內(nèi)角的平分線的交點，
∴∠BAE+∠ABE=

1

2

（∠BAD+∠ABC）=90°，
∴BE⊥AG，
又∵BE平分∠ABC，
∴AB=BG=5，AE=EG，
∴∠BAE=∠BGE，
∵CF平分∠BCD，
∴∠BCF=∠DCF，
∴∠BGE=∠BCF，
∴CF∥EG，
∵△ABE∽△CDF，AB=CD，
∴△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，
∴EG=CF，
∴四邊形CFEG是平行四邊形，
∴EF=CG，
∵CG=BC-BG=8-5=3，
∴EF=3．

點評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，難在于（2）作輔助線構(gòu)造出平行四邊形．