【題目】韋達(dá)定理:若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根分別為x1、x2 , 則x1+x2=﹣ , x1x2= , 閱讀下面應(yīng)用韋達(dá)定理的過程:
若一元二次方程﹣2x2+4x+1=0的兩根分別為x1、x2 , 求x12+x22的值.
解:該一元二次方程的△=b2﹣4ac=42﹣4×(﹣2)×1=24>0
由韋達(dá)定理可得,x1+x2=﹣=﹣=2,x1x2===﹣
x12+x22=(x1+x22﹣2x1x2
=22﹣2×(﹣
=5
然后解答下列問題:
(1)設(shè)一元二次方程2x2+3x﹣1=0的兩根分別為x1 , x2 , 不解方程,求x12+x22的值;
(2)若關(guān)于x的一元二次方程(k﹣1)x2+(k2﹣1)x+(k﹣1)2=0的兩根分別為α,β,且α22=4,求k的值.

【答案】解:(1)∵一元二次方程的△=b2﹣4ac=32﹣4×2×(﹣1)=17>0,
由根與系數(shù)的關(guān)系得:x1+x2=﹣ , x1x2=﹣ ,
+x22=(x1+x22﹣2x1x2==
(2)由根與系數(shù)的關(guān)系知:=﹣k﹣1,αβ==k﹣1,
α22=((α+β)2﹣2αβ=(k+1)2﹣2(k﹣1)=k2+3
∴k2+3=4,
∴k=±1,
∵k﹣1≠0
∴k≠1,
∴k=﹣1,
將k=﹣1代入原方程:﹣2x2+4=0,
△=32>0,
∴k=﹣1成立,
∴k的值為﹣1.
【解析】(1)先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2=﹣ , x1x2=﹣ , 再利用完全平方公式變形得到x12+x22=(x1+x22﹣2x1x2 , 然后利用整體代入的方法計(jì)算即可;
(2)根據(jù)一元二次方程(k﹣1)x2+(k2﹣1)x+(k﹣1)2=0的兩根分別為α,β,求出兩根之積和兩根之和的關(guān)于k的表達(dá)式,再將α22=4變形,將表達(dá)式代入變形后的等式,解方程即可.
【考點(diǎn)精析】掌握根與系數(shù)的關(guān)系是解答本題的根本,需要知道一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系數(shù)a、b、c而定;兩根之和等于方程的一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù);兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商.

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實(shí)驗(yàn)次數(shù)

20

40

60

80

100

120

140

160

字朝上的頻數(shù)

14

18

38

47

52

78

88

相應(yīng)的頻率

0.7

0.45

0.63

0.59

0.52

0.55

0.56

(1)請(qǐng)將表中數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整,并畫出折線統(tǒng)計(jì)圖中剩余部分.

(2)如果實(shí)驗(yàn)繼續(xù)進(jìn)行下去,根據(jù)上表數(shù)據(jù),這個(gè)實(shí)驗(yàn)的頻率將接近于該事件發(fā)生的機(jī)會(huì),請(qǐng)估計(jì)這個(gè)機(jī)會(huì)約是多少?

(3)在(2)的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步估計(jì):將該字棋子,按照實(shí)驗(yàn)要求連續(xù)拋2次,則剛好使字一次字面朝上,一次朝下的可能性為多少?

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頻數(shù)

頻率

50.5~60.5

4

0.08

60.5~70.5

0.16

70.5~80.5

10

80.5~90.5

16

0.32

90.5~100.5

計(jì)

50

1.00

(1)填充頻率分布表的空格;

(2)補(bǔ)全頻數(shù)直方圖,并在此圖上直接繪制頻數(shù)分布折線圖;

(3)全體參賽學(xué)生中,競(jìng)賽成績(jī)落在哪組范圍內(nèi)的人數(shù)最多?

(4)若成績(jī)?cè)?/span>90分以上(不含90分)為優(yōu)秀,則該校成績(jī)優(yōu)秀的約為多少人?

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