Question

【題目】請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．

三等分任意角問題是數(shù)學(xué)史上一個(gè)著名的問題，直到1837年，數(shù)學(xué)家才證明了“三等分任意角”是不能用尺規(guī)完成的．

在探索中，出現(xiàn)了不同的解決問題的方法

方法一：

如圖（1），四邊形ABCD是矩形，F是DA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，G是CF上一點(diǎn)，CF與AB交于點(diǎn)E，且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F，此時(shí)∠ECB＝∠ACB．

方法二：

數(shù)學(xué)家帕普斯借助函數(shù)給出一種“三等分銳角”的方法（如圖（2））：將給定的銳角∠AOB置于平面直角坐標(biāo)系中，邊OB在x軸上，邊OA與函數(shù)y＝的圖象交于點(diǎn)P，以點(diǎn)P為圓心，以2OP長(zhǎng)為半徑作弧交圖象于點(diǎn)R．過點(diǎn)P作x軸的平行線，過點(diǎn)R作y軸的平行線，兩直線相交于點(diǎn)M，連接OM得到∠AOB，過點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H，過點(diǎn)R作RQ⊥PH于點(diǎn)Q，則∠MOB＝∠AOB．

（1）在“方法一”中，若∠ACF＝40°，GF＝4，求BC的長(zhǎng)．

（2）完成“方法二”的證明．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）證明見解析.

【解析】

（1）先求出AC的值再求出∠ACB，利用三角函數(shù)即可解答

（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，），點(diǎn)R的坐標(biāo)為（b，），則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（a，），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（b，），求出直線OM的解析式，得出四邊形PQRM為矩形，設(shè)PR交MQ于點(diǎn)S，根據(jù)SP＝SQ＝SR＝SM＝PR，即可解答

（1）解：∵∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F，

∴AC＝AG＝GF＝4．

∵∠ECB＝ ∠ACB，∠ACF＝40°，

∴∠ACB＝ ∠ACF＝60°，

∴BC＝ACcos∠ACB＝4×＝2．

（2）證明：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，），點(diǎn)R的坐標(biāo)為（b，），則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（a，），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（b，）．

設(shè)直線OM的解析式為y＝kx（k≠0），

將M（b，）代入y＝kx，得：＝kb，

∴k＝，

∴直線OM的解析式為y=x．

∵當(dāng)x＝a時(shí)，y＝，

∴點(diǎn)Q在直線OM上．

∵PH⊥x軸，RQ⊥PH，MP∥x軸，MR∥y軸，

∴四邊形PQRM為矩形．

設(shè)PR交MQ于點(diǎn)S，如圖（2）所示．

則SP＝SQ＝SR＝SM＝PR，

∴∠SQR＝∠SRQ．

∵PR＝2OP，

∴PS＝OP＝PR，

∴∠POS＝∠PSO．

∵∠PSQ＝2∠SQR，

∴∠POS＝2∠SQR．

∵RQ∥OB，

∴∠MOB＝∠SQR，

∴∠POS＝2∠MOB，

∴∠MOB＝∠AOB．