【題目】如圖,已知△ABC的中線BD、CE相交于點O、M、N分別為OB、OC的中點.

(1)求證:MD和NE互相平分;

(2)若BD⊥AC,EM=2,OD+CD=7,求△OCB的面積.

【答案】(1)見試題解析(28.5

【解析】試題分析:(1)連接EDMN,根據三角形中位線定理可得ED∥MN,ED=MN,進而得到四邊形DEMN是平行四邊形,再根據平行四邊形的性質可得MDNE互相平分;

2)利用(1)中所求得出OC=2DN=4,再利用勾股定理以及三角形面積公式求出SOCB=OB×CD即可.

試題解析:(1)證明:連接ED、MN,

∵CE、BD△ABC的中線,

∴EDAB、AC中點,

∴ED∥BC,ED=BC,

∵M、N分別為OB、OC的中點,

∴MN∥BC,MN=BC,

∴ED∥MN,ED=MN

四邊形DEMN是平行四邊形,

∴MDNE互相平分;

2)解:由(1)可得DN=EM=2,

∵BD⊥AC,

∴∠ODC=90°

∵NOC的中點,

∴OC=2DN=4(直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半)

∵OD2+CD2=OC2=32,

OD+CD2=OD2+CD2+2OD×CD=72=49,

2OD×CD=49﹣32=17,

OD×CD=8.5,

∵OB=2OM=2OD,

∴SOCB=OB×CD=OD×CD=8.5

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