Question

如圖所示，MN表示深圳地鐵二期的一段設(shè)計(jì)路線，從M到N的走向?yàn)槟掀珫|30°，在M的南偏東60°方向上有一點(diǎn)A，以A為圓心，500m為半徑的圓形區(qū)域?yàn)榫用駞^(qū)．取MN上的另一點(diǎn)B，測(cè)得BA的方向?yàn)槟掀珫|75度．已知MB=400m．通過計(jì)算判斷，如果不改變方向，地鐵路線是否會(huì)穿過居民區(qū)，并說明理由．
（

3

≈1.732）
解：地鐵路線

 

（填“會(huì)”或“不會(huì)”）穿過居民區(qū)．

Answer 1

分析：問地鐵路線是否會(huì)穿過居民區(qū)，其實(shí)就是求A到MN的距離是否大于圓形居民區(qū)的半徑．如果大于則不會(huì)穿過，反正則會(huì)．如果過A作AC⊥MN于C，那么求AC的長(zhǎng)就是解題關(guān)鍵．在直角三角形AMC和ABC中，AC為共有直角邊，可用AC表示出MC和BC的長(zhǎng)，然后根據(jù)MB的長(zhǎng)度來(lái)確定AC的值．

解答：解：地鐵路線不會(huì)穿過居民區(qū)．
理由：過A作AC⊥MN于C，設(shè)AC的長(zhǎng)為xm，
∵∠AMN=30°，
∴AM=2xm，MC=

3

xm，
∵測(cè)得BA的方向?yàn)槟掀珫|75°，
∴∠ABC=45°，
∴∠ABC=∠BAC=45°，
∴AC=BC=x，
∵M(jìn)B=400m，
∴

3

x-x=400，
解得：x=

400

3 -1

=200(

3

+1)（m）
≈546（m）＞500（m）
∴不改變方向，地鐵線路不會(huì)穿過居民區(qū)．

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)兩個(gè)直角三角形有公共的直角邊時(shí)，一般是利用這條公共邊來(lái)解決問題，這也是解這類題的一般思路．