Question

已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN．
（1）如圖1，若∠ABC=∠ADC=90°，求證：AD+AB=AC；
（2）如圖2，若∠ABC+∠ADC=180°，則（1）中的結(jié)論AB+AD=AC是否仍然成立？若成立，給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線(xiàn)的性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)AC平分∠MAN，可得CB=CD，∠CAB=60°，即可證明RT△ACD≌RT△ACB，可得AD=AB，再根據(jù)AC=2AB，即可解題；
（2）根據(jù)AC平分∠MAN，可得CB=CD，∠CAB=60°，易證∠FCD=∠BCE，即可證明△CDF≌△CBE，可得BE=DF，再根據(jù)（1）中證明AC=AE+AF，即可解題．

解答：證明：（1）∵AC平分∠MAN，
∴CB=CD，∠CAB=60°，
在RT△ACD和RT△ACB中，

AC=AC CD=CB

，
∴RT△ACD≌RT△ACB（HL），
∴AD=AB，
∵∠ACB=90°-∠CAB=30°，
∴AC=2AB，
∴AD+AB=AC；
（2）成立，過(guò)C作CE⊥AN于E，CF⊥AM于F，

∵AC平分∠MAN，
∴CB=CD，∠CAB=60°，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠DCB=60°，
∵∠FCE=180°-∠BAD=60°，
∴∠FCE=∠BCD，
∵∠FCD+∠DCE=∠FCE，∠BCE+∠DCE=∠BCD，
∴∠FCD=∠BCE，
在△CDF和△CBE中，

∠FCD=∠BCE CF=CE ∠CFD=∠CEB=90°

，
∴△CDF≌△CBE，（ASA）
∴BE=DF，
∴AD+AB=AD+AE+BE=AD+DF+AE=AE+AF，
∵AC=AE+AF，
∴AD+AB=AC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△CDF≌△CBE是解題的關(guān)鍵．