Question

如圖，已知拋物線y=

1

2

x2+bx+c與x軸交于A （-4，0）和B（1，0）兩點，與y軸交于C點．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）設E是線段AB上的動點，當△EBC是等腰三角形時，求E點的坐標；
（3）若P為拋物線上A、C兩點間的一個動點，過P作y軸的平行線，交AC于Q，當P點運動到什么位置時，線段PQ的值最大，最大值為多少，并求此時P點的坐標．

Answer 1

考點：二次函數綜合題

專題：

分析：（1）利用待定系數法得出關于b，c的解析式，進而求出二次函數解析式；
（2）分別根據當BE=BC時，當CE=CB時以及當EB=EC時，求出E點坐標即可；
（3）首先求出直線AC的函數表達式，進而利用P（m，

1

2

m2+

3

2

m-2），則Q（m，-

1

2

m-2） （-4≤m≤0），PQ=(-

1

2

m-2)-(

1

2

m2+

3

2

m-2)，求出最值，進而得出P點坐標．

解答：解：（1）∵拋物線y=

1

2

x2+bx+c與x軸交于A （-4，0）和B（1，0）兩點，
∴

1 2 ×(-4)2-4b+c=0 1 2 ×12+b+c=0

，
解得：

b= 3 2 c=-2

，
∴此拋物線的解析式為：y=

1

2

x2+

3

2

x-2；

（2）∵拋物線的解析式為：y=

1

2

x2+

3

2

x-2，
∴x=0時，y=-2，
∴CO=2，
∵B（1，0），
∴BO=1，
∴BC=

5

，
當BE=BC時，
∴BE=

5

，
∴EO=-（

5

-1）=1-

5

，
E（1-

5

，0），
當CE=CB時，EO=BO，
∴E（-1，0），
當EB=EC時，設OE=x，則EC=BE=x+1，
在RT△EOC中，x²+2²=（x+1）²，
解得：x=

3

2

，
E（-

3

2

，0）；

（3）∵A（-4，0），C（0，-2），
∴設直線AC的函數表達式為y=kx+a，
∴

-4k+a=0 a=-2

，
解得：

a=-2 k=- 1 2

，
∴直線AC的函數表達式為y=-

1

2

x-2，
設P（m，

1

2

m2+

3

2

m-2），則Q（m，-

1

2

m-2）  （-4≤m≤0），
PQ=(-

1

2

m-2)-(

1

2

m2+

3

2

m-2)，
=-

1

2

m2-2m，
=-

1

2

(m+2)2+2，
∵-4≤m≤0，
∴當m=-2時，PQ的值有最大值為2，此時P（-2，-3）．

點評：此題主要考查了二次函數綜合應用以及待定系數法求一次函數、二次函數解析式和等腰三角形的判定等知識，利用分類討論得出是解題關鍵．