Question

如圖，在⊙O中，直徑AB⊥CD，垂足為E，點(diǎn)M在OC上，AM的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)G，交過C的直線于F，∠1=∠2，連結(jié)CB與DG交于點(diǎn)N．

（1）求證：CF是⊙O的切線；

（2）求證：△ACM∽△DCN；

（3）若點(diǎn)M是CO的中點(diǎn)，⊙O的半徑為4，cos∠BOC=，求BN的長(zhǎng)．

 

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）BN=．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)切線的判定定理得出∠1+∠BCO=90°，即可得出答案；

（2）利用已知得出∠3=∠2，∠4=∠D，再利用相似三角形的判定方法得出即可；

（3）根據(jù)已知得出OE的長(zhǎng)，進(jìn)而利用勾股定理得出EC，AC，BC的長(zhǎng)，即可得出CD，利用（2）中相似三角形的性質(zhì)得出NB的長(zhǎng)即可．

（1）證明：∵△BCO中，BO=CO，

∴∠B=∠BCO，

在Rt△BCE中，∠2+∠B=90°，

又∵∠1=∠2，

∴∠1+∠BCO=90°，

即∠FCO=90°，

∴CF是⊙O的切線；

（2）證明：如圖，∵AB是⊙O直徑，

∴∠ACB=∠FCO=90°，

∴∠ACB-∠BCO=∠FCO-∠BCO，

即∠3=∠1，

∴∠3=∠2，

∵∠4=∠D，

∴△ACM∽△DCN；

（3）【解析】
∵⊙O的半徑為4，即AO=CO=BO=4，

在Rt△COE中，cos∠BOC=，

∴OE=CO•cos∠BOC=4×=1，

由此可得：BE=3，AE=5，由勾股定理可得：

，

，

∵AB是⊙O直徑，AB⊥CD，

∴由垂徑定理得：CD=2CE=2，

∵△ACM∽△DCN，

∴ ，

∵點(diǎn)M是CO的中點(diǎn)，CM=AO=×4=2，

∴CN=，

∴BN=BC-CN=2-=．

考點(diǎn)：圓的綜合題．