Question

如圖，在銳角△ABC中，AB=，∠BAC=45°，∠BAC的平分線交BC于點D，M、N分別是AD和AB邊上的動點，則BM+MN的最小值是________．

Answer 1

6
分析：從已知條件結(jié)合圖形認真思考，通過角平分線性質(zhì)，垂線段最短，確定線段和的最小值．
解答：如圖，作BH⊥AC，垂足為H，交AD于M′點，過M′點作M′N′⊥AB，垂足為N′，
則BM′+M′N′為所求的最小值．
因為∠BAC的平分線交BC于點D，
由角平分線性質(zhì)可知，M′H=M′N′，
當BH是點B到直線AC的距離時（垂線段最短），
∵AB=，∠BAC=45°，
∴BH=AB•sin45°=6，
所以BM+MN的最小值是BM′+M′N′=BM′+M′H=BH=6．
故答案為6．
點評：本題考查了軸對稱的應(yīng)用．易錯易混點：解此題是受角平分線啟發(fā)，能夠通過構(gòu)造全等三角形，把BM+MN進行轉(zhuǎn)化，但是轉(zhuǎn)化后沒有辦法把兩個線段的和的最小值轉(zhuǎn)化為點到直線的距離而導致錯誤．規(guī)律與趨勢：構(gòu)造法是初中解題中常用的一種方法，對于最值的求解是初中考查的重點也是難點．