Question

在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分別為△ABC的三邊，已知a-b=2，b：c=3：5，且方程x²-2（k+1）x+k²-12=0兩實(shí)根的平方和是△ABC斜邊的平方，求k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系

專題：

分析：由于a-b=2，b：c=3：5，利用勾股定理可求出c的值，然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出兩個實(shí)數(shù)根的平方和，根據(jù)題意得到關(guān)于k的方程，從而可以求出k的值并驗(yàn)根．

解答：解：在△ABC中，∵∠C=90°，a-b=2，b：c=3：5，
∴設(shè)b=3k，則c=5k，
∴a=

c2-b2

=4k，
又∵a-b=2，
∴4k-3k=2，
解得k=2，
∴c=10．
不妨設(shè)原方程的兩根為x₁，x₂，
由根與系數(shù)的關(guān)系得x₁+x₂=2（k+1），x₁x₂=k²-12，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=4（k+1）²-2（k²-12）=2k²+8k+28，
由已知有：x₁²+x₂²=10²，
∴2k²+8k+28=10²=100，
解這個方程得k₁=-2+2

10

，k₂=-2-2

10

，
又∵方程有兩個實(shí)數(shù)根，
∴△=4（k+1）²-4（k²-12）≥0，
∴k≥-6.5，
∴k=-2+2

10

．

點(diǎn)評：此題著重考查了根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系．在利用根與系數(shù)的關(guān)系解題時，要特別注意一定要利用根的判別式進(jìn)行檢驗(yàn)．