Question

如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D是斜邊BC的中點．
（1）如圖①，若點E，F(xiàn)分別在邊AB，AC上，且AE=CF，連接DE，DF，EF，觀察，猜想△DEF是否為等腰直角三角形，并證明你的猜想．
（2）如圖②，若點E，F(xiàn)分別在邊AB，CA的延長線上，且AE=CF，連接DE，DF，EF，那么（1）中所得到的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請給出證明；如果不成立，說明你的理由．

Answer 1

解：（1）△DEF為等腰直角三角形．
證明如下：
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°．
∵點D是斜邊BC的中點，
∴AD是BC邊上的中線．
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=∠BAC=×90°=45°，
∴∠ADC=90°，∠BAD=∠CAD=∠C
∴DA=DC，
在△ADE和△CDF中

∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴DE=DF，∠ADE=∠CDF，
∴∠EDF=∠ADE+∠ADF=∠CDF+∠ADF=∠ADC=90°，
∴△DEF為等腰直角三角形；

（2）成立．
證明如下：
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°．
∵點D是斜邊BC的中點，
∴AD是BC邊上的中線．
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=∠BAC=×90°=45°，
∴∠ADB=90°，∠BAD=∠CAD=∠C，
∴DA=DC，
在△ADE和△CDF中

∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴DE=DF，∠ADE=∠CDF，
∴∠EDF=∠ADE+∠ADF=∠CDF+∠ADF=∠ADB=90°
∴△DEF為等腰直角三角形．
分析：（1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出DA=DC，∠BAD=∠CAD=∠C進而得出△ADE≌△CDF（SAS），即可得出△DEF為等腰直角三角形；
（2）首先利用已知得出AD=DC，進而利用全等三角形的判定得出△AED≌△CFD，進而得出答案．
點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)已知得出△ADE≌△CDF是解題關(guān)鍵．