Question

已知點(diǎn)A（-1，0），C（0，-3），雙曲線y=-

8

x

（x＞0）．
（1）如圖1，點(diǎn)M為雙曲線上一點(diǎn)，且S_△ACM=

5

2

，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．
（2）如圖2，點(diǎn)N為y軸上一點(diǎn)，將線段AN沿線段AC的垂直平分線折疊，使點(diǎn)N的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P恰好落在雙曲線上，求直線AP的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）分成直線AM與y軸交點(diǎn)在C上方和交點(diǎn)在C下方兩種情況進(jìn)行討論，設(shè)出M的坐標(biāo)，求得AM和y軸的交點(diǎn)，利用三角形的面積公式即可求得M的坐標(biāo)；
（2）首先求得AC的垂直平分線的解析式，設(shè)N的坐標(biāo)是（0，b），求得NP的解析式，則利用n表示出P的坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式即可得到關(guān)于n的方程，求得n的值，進(jìn)而求得P的坐標(biāo)，求得直線AP的解析式．

解答：解：（1）設(shè)M（m，-

8

m

），當(dāng)直線AM與y軸交點(diǎn)在C上方時(shí)，設(shè)解析式為y=kx+b，
根據(jù)題意得：

-k+b=0 km+b=- 8 m

，
解得：m=k=-

8

m(m+1)

，
則一次函數(shù)的解析式是y=-

8

m(m+1)

x-

8

m(m+1)

，
當(dāng)x=0時(shí)，y=-

8

m(m+1)

．
設(shè)M的橫坐標(biāo)是m，
則2S_△ACM=[-

8

m(m+1)

+3]（m+1）=5，
解得：m=2，
則M的坐標(biāo)是（2，-4）；
當(dāng)交點(diǎn)在C下方時(shí) 2S△_ACM=[-3+

8

m(m+1)

]（m+1）=5，
解得m=

2 10 -4

3

，則M的坐標(biāo)是（

2 10 -4

3

，-2

10

-4）；

（2）設(shè)N（0，b） 則因?yàn)镹關(guān)于線段AC的垂直平分線對(duì)稱(chēng)得到的P在雙曲線上，
設(shè)直線AC的解析式是y=ax+c，
根據(jù)題意得：

-a+c=0 c=-3

，
解得：

a=-3 c=-3

，
故直線AC的解析式是y=-3x-3．
AC的中點(diǎn)是（-

1

2

，-

3

2

），則線段AC的垂直平分線的解析式是y=

1

3

x-

4

3

．
直線NP的解析式是y=-3x+b，
解方程組：

y=-3x+b y= 1 3 x- 4 3

，
解得：

x= 12-3b 10 y= 19b-36 10

，
則P的坐標(biāo)是（

12-3b

5

，

14b-36

5

），
根據(jù)題意得：

12-3b

5

•

14b-36

5

=-8，
解得：b=2．
則N（0，2）P（2，-4），
則AP解析式為y=-

4

3

x-

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，注意通過(guò)解方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo)．同時(shí)要注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想．