已知拋物線y=x2+(k2-3k-4)x+2k與x軸從左至右交于A、B兩點,且這兩點關于原點對稱.
(1)求k的值;
(2)在(1)的條件下,若反比例函數(shù)y=
1
x
的圖象與拋物線y=x2+(k2-3k-4)x+2k從左至右交于Q、R、S三點,且Q的坐標(-1,-1),R的坐標(
1-
5
2
,-
1+
5
2
),S的坐標(
1+
5
2
,-
1+
5
2
),求四邊形AQBS的面積;
(3)在(1)、(2)條件下,在軸下方拋物線y=x2+(k2-3k-4)x+2k上是否存在點P,使S△PAB=2S△RAB?若存在,求出P點坐標;若不存在,請說明理由.
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分析:(1)設A點坐標為(x1,0),B點坐標為(x2,0),由A、B兩點關于原點對稱,即可得x1+x2=0,又由x1+x2=-(k2-3k-4),即可求得k的值;
(2)由(1)知A(-
2
,0),B(
2
,0),即可求得AB的長,又由四邊形AQBS的面積為:S△AQB+S△ASB求得答案;
(3)由拋物線的頂點坐標為(0,-2),假設滿足條件的點P存在,由S△PAB=2S△RAB,可得點P的縱坐標,即可得即在x軸下方拋物線上不存在點P,使S△PAB=2S△RAB
解答:解:(1)設A點坐標為(x1,0),B點坐標為(x2,0),
∵A、B兩點關于原點對稱,
∴x1+x2=0,
又x1+x2=-(k2-3k-4),
則k2-3k-4=0,
解得k1=-1,k2=4,
當k=4時,拋物線為y=x2+8,此時△=-32<0,舍去;
當k=-1時,拋物線為y=x2-2,此時△=8>0,
則拋物線與x軸交于兩點,
故所求k值為-1;

(2)由(1)知A(-
2
,0),B(
2
,0),
∴AB=2
2
,
則四邊形AQBS的面積為:S△AQB+S△ASB=
1
2
AB•|-1|+
1
2
AB•|
5
-1
2
|=
1
2
×2
2
+
1
2
×2
2
×
5
- 1
2
=
10
+
2
2
;

(3)∵拋物線的頂點坐標為(0,-2),假設滿足條件的點P存在,
則∵S△PAB=2S△RAB
∴點P的縱坐標為:2×(-
1+
5
2
)=-1-
5
,
而-1-
5
<-2,
∴P點不存在.
即在x軸下方拋物線上不存在點P,使S△PAB=2S△RAB
點評:此題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關系,點與函數(shù)的關系以及四邊形的面積求解方法等知識.此題綜合性很強,難度較大,解題的關鍵是方程思想與數(shù)形結合思想的應用.
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