【題目】如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+bx+6經(jīng)過點A(﹣3,0)和點B(2,0),直線y=h(h為常數(shù),且0<h<6)與BC交于點D,與y軸交于點E,與AC交于點F.
(1)求拋物線的解析式;
(2)連接AE,求h為何值時,△AEF的面積最大.
(3)已知一定點M(﹣2,0),問:是否存在這樣的直線y=h,使△BDM是等腰三角形?若存在,請求出h的值和點D的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=﹣x2﹣x+6;(2)當(dāng)h=3時,△AEF的面積最大,最大面積是 .(3)存在,當(dāng)h=時,點D的坐標為(,);當(dāng)h=時,點D的坐標為(,).
【解析】
(1)利用待定系數(shù)法即可解決問題.
(2)由題意可得點E的坐標為(0,h),點F的坐標為( ,h),根據(jù)S△AEF=OEFE=h=﹣(h﹣3)2+.利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題.
(3)存在.分兩種情形情形,分別列出方程即可解決問題.
解:如圖:
(1)∵拋物線y=ax2+bx+6經(jīng)過點A(﹣3,0)和點B(2,0),
∴,
解得:.
∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣x+6.
(2)∵把x=0代入y=﹣x2﹣x+6,得y=6,
∴點C的坐標為(0,6),
設(shè)經(jīng)過點A和點C的直線的解析式為y=mx+n,則,
解得 ,
∴經(jīng)過點A和點C的直線的解析式為:y=2x+6,
∵點E在直線y=h上,
∴點E的坐標為(0,h),
∴OE=h,
∵點F在直線y=h上,
∴點F的縱坐標為h,
把y=h代入y=2x+6,得h=2x+6,
解得x=,
∴點F的坐標為( ,h),
∴EF=.
∴S△AEF=OEFE=h=﹣(h﹣3)2+,
∵﹣<0且0<h<6,
∴當(dāng)h=3時,△AEF的面積最大,最大面積是 .
(3)存在符合題意的直線y=h.
∵B(2,0),C(0,6),
∴直線BC的解析式為y=﹣3x+6,設(shè)D(m,﹣3m+6).
①當(dāng)BM=BD時,(m﹣2)2+(﹣3m+6)2=42,
解得m=或(舍棄),
∴D(,),此時h=.
②當(dāng)MD=BM時,(m+2)2+(﹣3m+6)2=42,
解得m=或2(舍棄),
∴D(,),此時h=.
∵綜上所述,存在這樣的直線y=或y=,使△BDM是等腰三角形,當(dāng)h=時,點D的坐標為(,);當(dāng)h=時,點D的坐標為(,).
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校九年級學(xué)生某科目學(xué)期總評成績是由完成作業(yè)、單元檢測、期末考試三項成績構(gòu)成的,如果學(xué)期總評成績80分以上(含80分),則評定為“優(yōu)秀”,下表是小張和小王兩位同學(xué)的成績記錄:
完成作業(yè) | 單元測試 | 期末考試 | |
小張 | 70 | 90 | 80 |
小王 | 60 | 75 | _______ |
若按完成作業(yè)、單元檢測、期末考試三項成績按1:2:7的權(quán)重來確定學(xué)期總評成績.
(1)請計算小張的學(xué)期總評成績?yōu)槎嗌俜郑?/span>
(2)小王在期末(期末成績?yōu)檎麛?shù))應(yīng)該最少考多少分才能達到優(yōu)秀?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】手機下載一個APP,繳納一定數(shù)額的押金,就能以每小時0.5到1元的價格解鎖一輛自行車任意騎行…最近的網(wǎng)紅非“共享單車”莫屬.共享單車為解決市民出行的“最后一公里”難題幫了大忙,人們在享受科技進步、共享經(jīng)濟帶來的便利的同時,隨意停放、加裝私鎖、大卸八塊等毀壞單車的行為也層出不窮.某共享單車公司一月投入部分自行車進入市場,一月底發(fā)現(xiàn)損壞率不低于10%,二月初又投入1200輛進入市場,使可使用的自行車達到7500輛.
(1)一月份該公司投入市場的自行車至少有多少輛?
(2)二月份的損壞率達到20%,進入三月份,該公司新投入市場的自行車比二月份增長4a%,由于媒體的關(guān)注,毀壞共享單車的行為引起了一場國民素質(zhì)的大討論,三月份的損壞率下降a%,三月底可使用的自行車達到7752輛,求a的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(點在點的左側(cè)),與軸交于點,頂點為點.
(1)點的坐標為 ,點的坐標為 ;(用含有的代數(shù)式表示)
(2)連接.
①若平分,求二次函數(shù)的表達式;
②連接,若平分,求二次函數(shù)的表達式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】[問題提出]
在判定兩個三角形全等時,除根據(jù)一般三角形全等判定定理外,還有"" 方法.類似的,我們對直角三角形相似的條件進行探索。
(1) [提出猜想]
除根據(jù)一般三角形相似判定的條件外,請你提出類似于""的判定直角三角形相似的方法,并用文字描述為: .
(2) [初步思考]
其中,我們不妨將問題用符號語言表示為:如圖1,在和中,,若 ,則, 請給予證明.
(3) [深入研究]
若圖2中的,其他條件不變,兩個三角形是否相似?試利用以上探究的結(jié)論解決問題,若相似請證明,若不相似,請畫出反例.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線C1:y=x2﹣2x與拋物線C2:y=ax2+bx開口大小相同、方向相反,它們相交于O,C兩點,且分別與x軸的正半軸交于點B,點A,OA=2OB.
(1)求拋物線C2的解析式;
(2)在拋物線C2的對稱軸上是否存在點P,使PA+PC的值最小?若存在,求出點P的坐標,若不存在,說明理由;
(3)M是直線OC上方拋物線C2上的一個動點,連接MO,MC,M運動到什么位置時,△MOC面積最大?并求出最大面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】八年級(1)班研究性學(xué)習(xí)小組為研究全校同學(xué)課外閱讀情況,在全校隨機邀請了部分同學(xué)參與問卷調(diào)查,統(tǒng)計同學(xué)們一個月閱讀課外書的數(shù)量,并繪制了以下統(tǒng)計圖.
請根據(jù)圖中信息解決下列問題:
(1)共有多少名同學(xué)參與問卷調(diào)查;
(2)補全條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖;
(3)全校共有學(xué)生1500人,請估計該校學(xué)生一個月閱讀2本課外書的人數(shù)約為多少.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,過點M(0,2)的直線l與x軸平行,且直線l分別與反比例函數(shù)y=(x>0)和y=(x<0)的圖象分別交于點P,Q.
(1)求P點的坐標;
(2)若△POQ的面積為9,求k的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在地面上豎直安裝著AB、CD、EF三根立柱,在同一時刻同一光源下立柱AB、CD形成的影子為BG與DH.
(1)填空:判斷此光源下形成的投影是: 投影.
(2)作出立柱EF在此光源下所形成的影子.
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