Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過(guò)點(diǎn) B（﹣1，0），C（2，3），拋物線與y軸的焦點(diǎn)A，與x軸的另一個(gè)焦點(diǎn)為D，點(diǎn)M為線段AD上的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為t．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）過(guò)點(diǎn)M作y軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)P，設(shè)線段PM的長(zhǎng)為1，當(dāng)t為何值時(shí)，1的長(zhǎng)最大，并求最大值；（先根據(jù)題目畫(huà)圖，再計(jì)算）

（3）在（2）的條件下，當(dāng)t為何值時(shí)，△PAD的面積最大？并求最大值；

（4）在（2）的條件下，是否存在點(diǎn)P，使△PAD為直角三角形？若存在，直接寫(xiě)出t的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1)y=﹣x2+2x+3；（2）當(dāng)t=時(shí)，l有最大值，l最大=；（3）t=時(shí)，△PAD的面積的最大值為；（4）t=.

【解析】試題分析：（1）利用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題；

（2）易知直線AD解析式為y=-x+3，設(shè)M點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，則P（t，-t2+2t+3），M（t，-t+3），可得l=-t2+2t+3-（-t+3）=-t2+3t=-（t-）2+，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問(wèn)題；

（3）由S△PAD=×PM×（xD-xA）=PM，推出PM的值最大時(shí)，△PAD的面積最大；

（4）如圖設(shè)AD的中點(diǎn)為K，設(shè)P（t，-t2+2t+3）．由△PAD是直角三角形，推出PK=AD，可得（t-）2+（-t2+2t+3-）2=×18，解方程即可解決問(wèn)題；

試題解析：（1）把點(diǎn) B（﹣1，0），C（2，3）代入y=ax2+bx+3，

則有，

解得，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3．

（2）在y=﹣x2+2x+3中，令y=0可得0=﹣x2+2x+3，解得x=﹣1或x=3，

∴D（3，0），且A（0，3），

∴直線AD解析式為y=﹣x+3，

設(shè)M點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，則P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+3），

∵0＜t＜3，

∴點(diǎn)M在第一象限內(nèi)，

∴l=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t=﹣（t﹣）2+，

∴當(dāng)t=時(shí)，l有最大值，l最大=；

（3）∵S△PAD=×PM×（xD﹣xA）=PM，

∴PM的值最大時(shí)，△PAD的面積中點(diǎn)，最大值=×=．

∴t=時(shí)，△PAD的面積的最大值為．

（4）如圖設(shè)AD的中點(diǎn)為K，設(shè)P（t，﹣t2+2t+3）．

∵△PAD是直角三角形，

∴PK=AD，

∴（t﹣）2+（﹣t2+2t+3﹣）2=×18，

整理得t（t﹣3）（t2﹣t﹣1）=0，

解得t=0或3或，

∵點(diǎn)P在第一象限，

∴t=.