【題目】在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC.
(1)如圖1,若A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(0,4),B(﹣2,0),求C點(diǎn)的坐標(biāo);

(2)如圖2,作∠ABC的角平分線BD,交AC于點(diǎn)D,過C點(diǎn)作CE⊥BD于點(diǎn)E,求證:CE= BD;

(3)如圖3,點(diǎn)P是射線BA上A點(diǎn)右邊一動(dòng)點(diǎn),以CP為斜邊作等腰直角△CPF,其中∠F=90°,點(diǎn)Q為∠FPC與∠PFC的角平分線的交點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)Q是否恒在射線BD上?若在,請(qǐng)證明;若不在,請(qǐng)說明理由.

【答案】
(1)

解:如圖1中,作CM⊥OA垂足為M,

∵∠AOB=∠BAC=90°,

∴∠BAO+∠CAM=90°,∠BAO+∠ABO=90°,

∴∠ABO=∠CAM,

在△ABO和△CAM中,

,

∴△ABO≌△CAM,

∴MC=AO=4,AM=BO=2,MO=AO﹣AM=2,

∴點(diǎn)C坐標(biāo)(4,2)


(2)

證明:如圖2,延長CE,BA相交于點(diǎn)F,

∵∠EBF+∠F=90°,∠ACF+∠F=90°,

∴∠EBF=∠ACF,

在△ABD和△ACF中

∴△ABD≌△ACF(ASA),

∴BD=CF,

在△BCE和△BFE中, ,

∴△BCE≌△BFE(ASA),

∴CE=EF,

∴CE= BD


(3)

解:結(jié)論:點(diǎn)Q恒在射線BD上,

理由如下:

如圖3中作QE⊥PF,QG⊥FC,QH⊥PC,QM⊥BP,QN⊥BC,垂足分別為E、G、H、M、N.

在四邊形QMBN中,∵∠QMB=∠QNB=90°,

∴∠MQN=180°﹣∠ABC=135°,

同理可證:∠HQG=135°,

∴∠MQN=∠HQG,

∴∠MQH=∠GQN,

∵PQ平分∠FPC,QF平分∠PFC,QE⊥PF,QH⊥PC,QG⊥FC,

∴QE=QH=QG,∠QPH= ∠CPF=22.5°,

∵∠PMQ=∠PHQ=90°,

∴M、H、Q、P四點(diǎn)共圓,

∴∠HMP=∠HPQ=22.5°,同理∠QNG=22.5°,

∴∠FMQ=∠QNG,

在△MHQ和△NGQ中,

,

∴△MHQ≌△NGQ,

∴QM=QN,

∵QM⊥BP,QN⊥BC,

∴BQ平分∠ABC,

∴點(diǎn)Q恒在射線BD上


【解析】(1)要求點(diǎn)C坐標(biāo),作CM⊥AO,只要利用全等三角形的性質(zhì)求出OM、CM即可;(2)延長CE、BA相交于點(diǎn)F.可以證明Rt△ABD≌Rt△ACF,再證明△BCE≌△BFE得到CE=EF,就可以得出結(jié)論;(3)點(diǎn)Q是否恒在射線BD上,只要證明QM=QN,只要證明△M,HQ≌△NGQ即可.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用全等三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案,需要掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等; 全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.

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