Question

在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，AF⊥BC于點F，點O在AF上，⊙O經(jīng)過點F，并分別與AB、AC邊切于點D、E．
（1）求△ADE的周長；
（2）求內(nèi)切圓的面積．

Answer 1

解：（1）∵AB=AC，BC=12，AF⊥BC于點F，
∴BF=FC=6．
∵⊙O經(jīng)過點F，并分別與AB、AC邊切于點D、E．
∴BD=BF=6，CE=CF=6．
∵AB=AC=10，
∴AD=AE=4，∴AD：AB=AE：AC，∴DE∥BC，
∴DE：BC=AD：AB，即DE：12=4：10，∴DE=4.8，
∴△ADE的周長=AD+DE+AE=4+4+4.8=12.8．

（2）∵AF⊥BC于點F，∴∠AFB=90°．
∵AB=10，BF=6，∴AF==8．
∵⊙O與AC邊切于點D，∴∠ADO=90°．
∴∠ADO=∠AFB，且OD=OF．
∵∠OAD=∠BAF，∴△ADO∽△AFB，
∴AO：AB=OD：BF，
即（8-OD）：10=OD：6，∴OD=3，
∴S_⊙O=π•OD²=9π．
分析：（1）由AB=AC，BC=12，AF⊥BC于點F，所以BF=FC=6．由⊙O經(jīng)過點F，并分別與AB、AC邊切于點D、E．所以BD=BF=6，CE=CF=6．由AB=AC=10，所以AD=AE=4，AD：AB=AE：AC，DE∥BC，DE：BC=AD：AB，即DE：12=4：10，DE=4.8，而求得．
（2）由AF⊥BC于點F，所以∠AFB=90°．由AB=10，BF=6，得AF==8．因為⊙O與AC邊切于點D，得∠ADO=90°．∠ADO=∠AFB，且OD=OF．又∠OAD=∠BAF，得△ADO∽△AFB，所以AO：AB=OD：BF，從而求得．
點評：本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，解這類題一般都利用過內(nèi)心向正三角形的一邊作垂線，則正三角形的半徑、內(nèi)切圓半徑和正三角形邊長的一半構(gòu)成一個直角三角形，解這個直角三角形，可求出相關(guān)的邊長或角的度數(shù)．