Question

已知，如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，BE平分∠ABC，交AD于點(diǎn)M，AN平分∠DAC，交BC于點(diǎn)N．
求證：四邊形AMNE是菱形．

Answer 1

【答案】分析：由已知∠BAC=90°，AD⊥BC得到∠BAD=∠C，利用三角形的外角性質(zhì)推出∠BAN=∠BNA，即BE⊥AN，OA=ON，同理OM=OE，即可推出答案．
解答：證明：∵AD⊥BC，
∴∠BDA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠C=90°，∠ABC+∠BAD=90°，
∴∠BAD=∠C，
∵AN平分∠DAC，
∴∠CAN=∠DAN，
∵∠BAN=∠BAD+∠DAN，∠BNA=∠C+∠CAN，
∴∠BAN=∠BNA，
∵BE平分∠ABC，
∴BE⊥AN，OA=ON，
同理：OM=OE，
∴四邊形AMNE是平行四邊形，
∴平行四邊形AMNE是菱形．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定，三角形的外角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解此題的關(guān)鍵是證出△ABN是等腰三角形，利用三線合一證出OA=ON．