Question

如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=100°，I是內(nèi)心，BI的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)D，過(guò)A、B、D三點(diǎn)作⊙O交BC于E點(diǎn)．
求證：BC=BD+AD．

Answer 1

證明：如圖，連接DE 在△ABC中，
∵∠A=100°，
∴∠ABC=∠C=（180°-∠A）=40°
又∵I是內(nèi)心，
∴BI平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=20°
∴∠ADB=180°-∠A-∠ABD=60°
在⊙O中，∠A+∠BED=180°，
∴∠BED=180°-∠A=80°
∴∠BDE=180°-∠DBC-∠BED=80°，
∴∠BED=∠BDE，
∴BD=BE
又∵∠C=40°∠BED=80°，
∴∠CDE=∠BED-∠C=40°
∴∠C=∠CDE，
∴CE=DE
又∵∠ABD=∠DBC，
∴=，
∴AD=DE，
∴AD=CE
∴BC=BE+CE=BD+AD．
分析：連接DE 在△ABC中根據(jù)∠A=100°可求出∠ABC的度數(shù)，I是內(nèi)心，根據(jù)BI平分∠ABC，可知∠ABD=∠DBC=∠ABC=20°故可得出∠ADB的度數(shù)，在⊙O中由內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可知∠A+∠BED=180°，故可得出∠BED的度數(shù)，進(jìn)而可得出∠BDE的度數(shù)，即∠BED=∠BDE，BD=BE，由三角形內(nèi)角和定理可求出∠CDE的度數(shù)，
進(jìn)而得出CE=DE，由∠ABD=∠DBC可知=，故AD=DE=CE，進(jìn)而可得出結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心．根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出圓內(nèi)接四邊形是解答此題的關(guān)鍵．