Question

如圖，為⊙O的直徑，為弦，且，垂足為．

（1）如果⊙O的半徑為4，，求的度數(shù)；

（2）若點為 的中點，連結(jié)，．求證：平分；

（3）在（1）的條件下，圓周上到直線距離為3的點有多少個？并說明理由．

 

Answer 1

（1）°, （2）見解析 （3）有2個點

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)垂徑定理求出CD=2CH，然后求出∠COH，根據(jù)圓周角定理求出；（2）求出∠ACO=∠BCD，∠ACE=∠BCE，相減即可．（3）根據(jù)BC=4和半徑是4，即可得出答案．

試題解析：（1）【解析】
∵AB⊥CD，∴CD=2CH=，∴CH=,在Rt△OCH中，OC=4, ∴∠COH=60°，∵∠BAC=∠COH , ∴∠BAC=30°;（ 2）證明：∵AB為直徑，∴∠ACB=90°=∠CHB，∴∠A+∠B=∠B+∠BCH=90°，∴∠A=∠BCD=∠ACO，∵E為弧ADB的中點，∴∠ACE=∠BCE，∴∠ACE-∠ACO=∠BCE-∠BCD，∴∠OCE=∠DCE， 即CE平分∠OCD．（3）【解析】
在（1）的條件下，圓周上到直線AC距離為3的點有2個，理由是：在BC上截取BM=1，過M作AC的平行線交圓于N、Q，則此時兩點符合題意，除去這兩點以外，再沒有符合題意的點了，即在（1）的條件下，圓周上到直線AC距離為3的點有2個．

考點：1.垂徑定理；2.圓周角定理；3.解直角三角形．