Question

如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=3，D為BC邊的中點，∠MDN=90°，將∠MDN繞點D順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AB、AC于點E、F．
（1）求證：△ADE≌△CDF；
（2）求四邊形AEDF的面積；
（3）連結(jié)EF．
①當(dāng)點F在AC邊上時總有BE

 

EF（填“＞”或“＜”或“=”），請說明理由；
②若BE=2，求EF的長．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1）易證AD=DC，∠ADE=∠CDF，即可證明△ADE≌△CDF，即可解題；
（2）根據(jù)（1）中結(jié)論可得四邊形AEDF的面積=S_△ADC=

1

2

S_△ABC，即可解題；
（3）①易證BE=AF，即可求得AF＜EF，即可解題；
②根據(jù)BE的長即可求得AE，AF的長，即可求得EF的長，即可解題．

解答：（1）證明：∵∠BAC=90°，AB=AC，D為BC中點，
∴∠B=∠C=∠BAD=∠CAD=45°，∠ADC=90°，
∴AD=DC=BD，
∵∠ADE+∠ADF=90°，∠ADF+∠CDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，

∠ADE=∠CDF AD=CD ∠BAD=∠C=45°

，
∴△ADE≌△CDF（ASA）；
（2）解：∵△ADE≌△CDF，
∴四邊形AEDF的面積=S_△ADC=

1

2

S_△ABC，
∵S_△ABC=

1

2

AB•AC=

9

2

，
∴四邊形AEDF的面積=

9

4

；
（3）解：①∵△ADE≌△CDF，
∴AE=CF，
∵AB=AC，
∴BE=AF，
∵FA⊥EA，
∴AF＜EF，即BE＜EF；
②∵AB=AC=3，BE=2，
∴AE=1，AF=BE=2，
∴EF=

AE2+AF2

=

5

．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，考查了直角三角形中勾股定理的運用，本題中求證是解題的關(guān)鍵．