（2012•聊城）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB=AC=10，BC=12，P是
BC
上的一個動點，過點P作BC的平行線交AB的延長線于點D．
（1）當(dāng)點P在什么位置時，DP是⊙O的切線？請說明理由；
（2）當(dāng)DP為⊙O的切線時，求線段DP的長．
分析：（1）根據(jù)當(dāng)點P是
BC
的中點時，得出
PBA
=
PCA
，得出PA是○O的直徑，再利用DP∥BC，得出DP⊥PA，問題得證；
（2）利用切線的性質(zhì)，由勾股定理得出半徑長，進而得出△ABE∽△ADP，即可得出DP的長．
解答：解：（1）當(dāng)點P是
BC
的中點時，DP是⊙O的切線．理由如下：
∵AB=AC，
∴
AB
=
AC
，
又∵
PB
=
PC
，
∴
PBA
=
PCA
，
∴PA是⊙O的直徑，
∵
PB
=
PC
，
∴∠1=∠2，
又AB=AC，
∴PA⊥BC，
又∵DP∥BC，
∴DP⊥PA，
∴DP是⊙O的切線．

（2）連接OB，設(shè)PA交BC于點E．
由垂徑定理，得BE=
1
2
BC=6，
在Rt△ABE中，由勾股定理，得：
AE=
AB2-BE2
=
102-62
=8，
設(shè)⊙O的半徑為r，則OE=8-r，
在Rt△OBE中，由勾股定理，得：
r2=62+（8-r）2，
解得r=
25
4
，
∵DP∥BC，∴∠ABE=∠D，
又∵∠1=∠1，
∴△ABE∽△ADP，
∴
BE
DP
=
AE
AP
，即
6
DP
=
8
2×
25
4
，
解得：DP=
75
8
．
點評：此題主要考查了切線的判定與性質(zhì)以及勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)已知得出△ABE∽△ADP是解題關(guān)鍵．
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k
x
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y=
3
x
y=
3
x
．

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