【題目】如圖,平行四邊形中,,,∠,點的中點,點的邊上,若為等腰三角形,則的長為__________

【答案】6

【解析】

根據(jù)點P所在的線段分類討論,再分析每種情況下腰的情況,然后利用直角三角形的性質(zhì)和勾股定理分別求值即可.

解:①當點PAB上時,由∠ABC=120°,此時只能是以∠PBE為頂角的等腰三角形,BP=BE,過點BBFPE于點F,如下圖所示

∴∠FBE=ABC=60°,EP=2EF

∴∠BEF=90°-∠FBE=30°

,點的中點

BE=

RtBEF中,BF=

根據(jù)勾股定理:EF=

EP=2EF=

②當點PAD上時,過點BBFABF,過點PPGBC,如下圖所示

∵∠ABC=120°

∴∠A=60°

∴∠ABF=90°-∠A=30°

RtABFAF=,BF=

BPBFBEEPBFBE

∴此時只能是以∠BPE為頂角的等腰三角形,BP=PE,

PG=BF=,EG=

根據(jù)勾股定理:EP=;

③當點PCD上時,過點EEFCDF,過點BBGCD

由②可知:BE的中垂線與CD無交點,

∴此時BPPE

∵∠A=60°,四邊形ABCD為平行四邊形

∴∠C=60°

RtBCG中,∠CBG=90°-∠C=30°,CG=

根據(jù)勾股定理:BG=

BPBGBE

EFCD,BGCD,點EBC的中點

EF為△BCG的中位線

EF=

∴此時只能是以∠BEP為頂角的等腰三角形,BE=PE=6

綜上所述:的長為6

故答案為:6

練習冊系列答案
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