Question

如圖是二次函數(shù)y=（x+m）²+k的圖象，其頂點坐標(biāo)為M（1，-4）．
（1）求出圖象與x軸的交點A、B的坐標(biāo)；
（2）在二次函數(shù)的圖象上是否存在點P，使？若存在，求出P點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）在y軸上存在一點Q，使得△QMB周長最小，求出Q點坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）∵頂點坐標(biāo)為M（1，-4），
∴二次函數(shù)為y=（x-1）²-4，
令y=0，則（x-1）²-4=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0）；

（2）設(shè)點P到AB的距離為h，
∵S_△PAB=S_△MAB，
∴AB•h=•AB•4，
解得h=3，
當(dāng)點P在x軸下方時，點P的縱坐標(biāo)是-3，
∴（x-1）²-4=-3，
解得x₁=0，x₂=2，
此時點P的坐標(biāo)為（0，-3）或（2，-3），
點P在x軸上方時，點P的縱坐標(biāo)為3，
∴（x-1）²-4=3，
解得x₁=+1，x₂=-+1，
此時點P的坐標(biāo)為（+1，3）或（-+1，3），
綜上所述，點P的坐標(biāo)為（0，-3），（2，-3），（+1，3），（-+1，3）；

（3）如圖，取點M（1，-4）關(guān)于y軸的對稱點M′（-1，-4），
連接BM′與y軸的交點即為使得△QMB周長最小的點Q，
設(shè)直線BM′的解析式為y=kx+b，
則，
解得，
∴BM′的解析式為y=x-3，
令x=0，則y=-3，
所以，點Q的坐標(biāo)為P（0，-3）．
分析：（1）把頂點坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，然后令y=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可得到點A、B的坐標(biāo)；
（2）設(shè)點P到AB的距離為h，利用三角形的面積列式求出h，再分點P在x軸下方和上方兩種情況把點P的縱坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求解即可；
（3）根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，找出點M關(guān)于y軸的對稱點M′，連接BM′與y軸的交點即為所求的點Q，利用待定系數(shù)法求出直線BM′的函數(shù)解析式，再令x=0求解即可．
點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了頂點式解析式，二次函數(shù)圖象與x軸的交點問題，三角形的面積，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，利用軸對稱確定最短路線問題，綜合性較強(qiáng)，但難度不大．