(2010•龍巖質(zhì)檢)在平面直角坐標系中,點A、B的坐標分別為(10,0),(2,4).
(1)若點C是點B關(guān)于x軸的對稱點,求經(jīng)過O、C、A三點的拋物線的解析式;
(2)若P為拋物線上異于C的點,且△OAP是直角三角形,請直接寫出點P的坐標;
(3)若拋物線頂點為D,對稱軸交x軸于點M,探究:拋物線對稱軸上是否存在異于D的點Q,使△AQD是等腰三角形?若存在,請求出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】分析:(1)關(guān)于x軸對稱的點,橫坐標相同,縱坐標互為相反數(shù),可據(jù)此求出點C的坐標;然后用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式;
(2)根據(jù)O、A、C的坐標可知:△OAC是直角三角形,且∠OCA=90°,根據(jù)拋物線的對稱性知C點關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點也一定符合條件,可由此寫出P點的坐標;
(3)根據(jù)拋物線的解析式可求出拋物線的頂點坐標和對稱軸方程,即可確定D點的坐標和Q點的橫坐標;設出Q點縱坐標,然后分別表示出AD、QD、QA的長;根據(jù)①Q(mào)D=DA,②QD=QA,③AD=AQ;三種不同情況所得到的等量關(guān)系來求出Q點的坐標.
解答:解:(1)∵B(2,4),
∴C(2,-4);
設過O、C、A三點的拋物線解析式為y=ax(x-10)
將C(2,-4)代入,
得a=;
所以,拋物線解析式為y=-;

(2)存在.P(8,-4)

(3)存在點Q使得△DQA為等腰三角形
由(1)拋物線解析式為y=-
可求得頂點D的坐標(5,-
則|AD|=,若|QA|=|DA|
則由對稱性知滿足條件的Q點的坐標為(5,),記為Q:(5,
若|QD|=|DA|
則結(jié)合圖形,可求得滿足條件的Q點坐標為(5,),(5,
記為Q2(5,),Q3(5,);
若|QD|=|QA|
則設Q(5,y),由
解得y=,
所以滿足條件的Q點坐標為(5,),記為Q4(5,)(12分)
所以,滿足條件的點Q有Q1(5,),Q2(5,),Q3(5,-),Q4(5,-)四個點.
點評:此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、拋物線的對稱性、等腰三角形的判定等重要知識點,在等腰三角形腰和底不確定的情況下,一定要分類討論,以免漏解.
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(3)請用計算器求出龍巖市2005-2009年這5年地方財政收入的方差是______.

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