Question

如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD對角線CA的延長線上任意一點(diǎn)，以線段AE為邊作一個正方形AEFG，線段GB與線段ED，AD分別交于點(diǎn)H，M．
（1）求證：ED=GB；
（2）判斷ED與GB的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）若AB=2，AE=

2

，求GB的長．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AE=AG，AD=AB，∠EAG=∠DAB=90°，求出∠EAD=∠GAB，根據(jù)SAS推出△EAD≌△GAB即可；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠GBA=∠EDA，求出∠DHM=90°即可；
（3）連接BD和AC，兩線交于O，勾股定理求出AC=BD=2

2

，求出AO=DO=

2

，EO=2

2

，根據(jù)勾股定理求出即可．

解答：（1）證明：∵四邊形AEFG和四邊形ABCD是正方形，
∴AE=AG，AD=AB，∠EAG=∠DAB=90°，
∴∠EAD=∠GAB=90°+∠GAD，
在△EAD和△GAB中，

AE=AG ∠EAD=∠GAB AD=AB

，
∴△EAD≌△GAB（SAS），
∴ED=GB；

（2）解：ED⊥GB，
理由是：∵∠EAD≌△GAB，
∴∠GBA=∠EDA，
∵∠AMB+∠GBA=90°，∠DMH=∠AMB，
∴∠DMH+∠EDA=90°，
∴∠DHM=180°-90°=90°，
∴ED⊥GB；

（3）解：連接BD和AC，兩線交于O，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，AB=BC=CD=AD=2，∠DAB=∠ABC=∠C=∠CDA=90°，
由勾股定理得：AC=BD=

22+22

=2

2

，
∴AO=DO=

2

，
∴EO=

2

+

2

=2

2

，
在Rt△EOD中，ED=

DO2+EO2

=

10

，
∴GB=ED=

10

．

點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是推出∠EAD≌△GAB和求出DO、EO的長，綜合性比較強(qiáng)，難度適中．