Question

【題目】如圖，在直角坐標(biāo)系中，，，是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn).

（1）若點(diǎn)是軸上的一動(dòng)點(diǎn)，連接、，當(dāng)的值最小時(shí)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及的最小值；

（2）如圖2，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，再將繞點(diǎn)作順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角度為，記旋轉(zhuǎn)中的三角形為，在旋轉(zhuǎn)過程中，直線與直線的交點(diǎn)為，直線與直線交于點(diǎn)，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，請直接寫出的值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）α的值為45°，90°，135°，180°．

【解析】

（1）作HG⊥OB于H．由HG∥AO，求出OG，HG，即可得到點(diǎn)H的坐標(biāo)，作點(diǎn)B關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)B′，連接B′H交y軸于點(diǎn)M，則B'（-2，0），此時(shí)MB+MH的值最小，最小值等于B'H的長；求得直線B′H的解析式為y= ，即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)為．
（2）依據(jù)△OST為等腰三角形，分4種情況畫出圖形，即可得到旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．

解：（1）如圖1，作HG⊥OB于H．

∵HG∥AO，
∴

∵OB=2，OA= ，
∴GB= ，HG= ，
∴OG=OB-GB= ，
∴H（，）

作點(diǎn)B關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)B′，連接B′H交y軸于點(diǎn)M，則B'（-2，0），
此時(shí)MB+MH的值最小，最小值等于B'H的長．

∵B'（-2，0），H（，）

B'H=

∴MB+MH的最小值為

設(shè)直線B'H的解析式為y=kx+b，則有

解得：

∴直線B′H的解析式為

當(dāng)x=0時(shí)，y=

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為：

（2）如圖，當(dāng)OT=OS時(shí)，α=75°-30°=45°；

如圖，當(dāng)OT=TS時(shí)，α=90°；

如圖，當(dāng)OT=OS時(shí)，α=90°+60°-15°=135°；

如圖，當(dāng)ST=OS時(shí)，α=180°；

綜上所述，α的值為45°，90°，135°，180°．