Question

如圖，在△ABC中，AD=DC，BE=EF=CF，AE、CF與BD相交于點(diǎn)G、H．已知S_△ABC=

3

10

，則S_{四邊形GEFH}的值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：面積及等積變換,三角形中位線定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：連接DF，根據(jù)三角形中位線定理可得DF∥AE，DF=

1

2

AE，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)得到GH與BD的關(guān)系，然后運(yùn)用等積變換得到S_△AGH與S_△ABC的關(guān)系、S_△AEF與S_△ABC的關(guān)系，進(jìn)而得到S_{四邊形EFHG}與S_△ABC的關(guān)系，從而解決問題．

解答：解：連接DF，如圖．
∵AD=CD，EF=CF，
∴DF∥AE，DF=

1

2

AE．
∵GE∥DF，
∴△BGE∽△BDF，
∴

BG

BD

=

EG

DF

=

BE

BF

．
∵BE=EF，∴BF=2BE，
∴BD=2BG，DF=2EG，
∴AE=2DF=4EG，
∴AG=3EG=

3

2

DF．
∵AG∥DF，
∴△AHG∽△FHD，
∴

HG

HD

=

AG

FD

=

3

2

．
設(shè)HD=2k，
則HG=3k，DG=5k，BD=2BG=2GD=10k．
∵

S△AGH

S△ABD

=

GH

BD

=

3k

10k

=

3

10

，

S△ABD

S△ABC

=

AD

AC

=

1

2

，
∴

S△AGH

S△ABC

=

3

10

×

1

2

=

3

20

，
∴S_△AGH=

3

20

S_△ABC．
∵

S△AEF

S△ABC

=

EF

BC

=

EF

3EF

=

1

3

，
∴S_△AEF=

1

3

S_△ABC，
∴S_{四邊形EFHG}=S_△AEF-S_△AGH
=

1

3

S_△ABC-

3

20

S_△ABC
=

11

60

S_△ABC．
∵S_△ABC=

3

10

，
∴S_{四邊形EFHG}=

11

60

×

3

10

=

11

200

．
故答案為：

11

200

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等積變換、三角形中位線定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，由多中點(diǎn)聯(lián)想到三角形的中位線定理，并運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)和等積變換是解決本題的關(guān)鍵．