Question

如圖，菱形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，過點A作AH⊥BC，交BD于E，垂足為H，已知CH=4，AH=8
（1）求菱形的周長；（2）求OE的長度．

Answer 1

分析：（1）設(shè)AB=x，則BC=x，利用勾股定理求出x的值，即可求出菱形的周長；
（2）利用勾股定理可求出AC和BO的長，根據(jù)對角線互相平分可求出OC的長，利用三角形相似的性質(zhì)即可求出EH，進而得到AE，再利用勾股定理即可求出OE．

解答：解：（1）設(shè)AB=x，則BC=x，BH=BC-CH=x-4，在Rt△ABH中，AH²+BH²=AB²，
∴8²+（x-4）²=x²，解得x=10，
∴菱形周長為40．

（2）∵AH=8，CH=4，
∴AC=

AH2+CH2

=4

5

，
∴CO=AO=

1

2

AC=2

5

，
∵BC=10，CO=2

5

，
∴BO=

BC2-CO2

=4

5

∵∠BHE=∠BOC=90°，∠EBH=∠CBO，
∴△BHE∽△BOC，
∴

BH

BO

=

EH

CO

，
∴

6

4 5

=

EG

2 5

，
∴EH=3，
∴AE=AH-EH=8-3=5，
∴OE=

AE2-AO2

=

5

點評：本題考查了菱形的性質(zhì)：四邊相等、對角線互相垂直平分和勾股定理以及相似三角形的判定和性質(zhì)的運用．