Question

如圖，直線y=kx+b交坐標(biāo)軸于A、B兩點(diǎn)，交拋物線y=ax²于點(diǎn)C（4，3），且C是線段AB的中點(diǎn)，拋物線上另有位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)P，過(guò)P的直線y=k′x+b′交坐標(biāo)軸于D、E兩點(diǎn)，且P恰好是線段DE的中點(diǎn)，若△AOB∽△DOE，則P點(diǎn)的坐標(biāo)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：首先求得拋物線的解析式，然后根據(jù)點(diǎn)C為新的AB的中點(diǎn)分別表示出點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后利用兩三角形相似設(shè)出點(diǎn)D的坐標(biāo)并表示出點(diǎn)E的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)P為線段DE的中點(diǎn)表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P將P點(diǎn)的坐標(biāo)代入求得設(shè)得的未知數(shù)，從而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：∵拋物線y=ax²經(jīng)過(guò)C（4，3），
∴拋物線的解析式為y=

3

16

x²，
∵C是線段AB的中點(diǎn)，
∴B（0，6），A（8，0），
∵△AOB∽△DOE，
∴

OD

OE

=

OB

OA

=

6

8

=

3

4

，
設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，a），
則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（

4

3

a，0），
∵點(diǎn)P為DE的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

2

3

a，

a

2

），
∵點(diǎn)P在拋物線y=

3

16

x²上，
∴

a

2

=

3

16

×（

2

3

a）²，
解得：a=6，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（4，3）（不符合要求，舍去）．
設(shè)D在x軸上，E在y軸上，
∵△AOB∽△DOE，
∴

OD

OE

=

OB

OA

=

6

8

=

3

4

，
設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（a，0），
則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，

4

3

a），
∵點(diǎn)P為DE的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

a

2

，

2

3

a），
∵點(diǎn)P在拋物線y=

3

16

x²上，
∴

2

3

a=

3

16

×（

1

2

a）²，
解得：a=

128

9

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（

64

9

，

256

27

）．
故答案為：（

64

9

，

256

27

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識(shí)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)表示出點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)并利用相似表示出點(diǎn)E和點(diǎn)D的坐標(biāo)即可．