Question

如圖，直角坐標(biāo)系中，以AB為直徑作半⊙P交y軸于M，以AB為一邊作正方形ABCD．
（1）直接寫(xiě)出C、M兩點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）連CM，試判斷直線CM是否與⊙P相切？說(shuō)明你的理由．
（3）在x軸上是否存在一點(diǎn)Q，使△QMC周長(zhǎng)最小？若存在，求出Q坐標(biāo)及最小周長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)锳BCD為正方形，且邊長(zhǎng)為10，所以易得C點(diǎn)坐標(biāo)；連接PM，根據(jù)P點(diǎn)坐標(biāo)和半徑求OM可得M點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）根據(jù)CM、PM、PC的長(zhǎng)判定△PCM為直角三角形，得∠PMC=90°，從而判斷相切．或證△PCM≌△PCB得證．
（3）因CM長(zhǎng)度固定，要使△QMC周長(zhǎng)最小，只需PM+PC最�。�作M關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M′，連接CM′，交x軸于Q點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性及兩點(diǎn)之間線段最短說(shuō)明存在Q點(diǎn)．

解答：解：（1）∵A（-2，0），B（8，0），
∴AB=10．
∵四邊形ABCD為正方形，
∴BC=AB=10，
∴C（8，10）．
連MP，PC；
在Rt△OPM中，OP=3，MP=5，
∴OM=4，即M（0，4）．

（2）CM與⊙P相切．
理由：Rt△CBP中，CB=10，BP=5，
∴CP²=125．
△CEM中，EM=6，CE=8，
∴CM²=100．
∵100+25=125，
∴△CMP中，CM²+MP²=CP²，
∴∠CMP=90°．
即：PM⊥CM．
∴CM與⊙P相切．

（3）△QMC中，CM恒等于10，要使△QMC周長(zhǎng)最小，即要使MQ+QC最小．
故作M關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M’，連CM’交x軸于點(diǎn)Q，連MQ，此時(shí)，△QMC周長(zhǎng)最�。�
∵C（8，10），M'（0，-4），
設(shè)直線CM'：y=kx+b（k≠0）

∴

8k+b=10 b=-4

?

k= 7 4 b=-4

∴y=

7

4

x-4．
∴Q（

16

7

，0）．
∵x軸垂直平分MM’，
∴QM=QM'，
∴MQ+QC=M'Q+QC=M'C．
△CEM'中，CE=8，EM'=14
∴CM′=2

65

∴△QMC周長(zhǎng)最小值為2

65

+10．
∴存在符合題意的點(diǎn)Q，且Q(

16

7

，0)
此時(shí)△QMC周長(zhǎng)最小值為2

65

+10．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了坐標(biāo)系內(nèi)求點(diǎn)的坐標(biāo)、切線的判定、利用作圖求最小值等知識(shí)點(diǎn)，綜合性很強(qiáng)，難度較大．