Question

四邊形ABDF中，點(diǎn)C、E分別在AF、DF上，且AB=AC，BD=DE，∠BDE=2∠ABC，M為CE的中點(diǎn)．
（1）求證：AM⊥DM．
（2）若AM=DM，求∠ABC的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）延長(zhǎng)DM至H，使MH=MD，連接CH，AH，AD，易證△HMC≌△DME，可得DE=HC，∠HCM=∠DEM，易證∠F+∠ABD=180°和∠HCF=∠F，即可求得∠ABD=∠ACH，即可證明△ABD≌△ACH，可得AD=AH，根據(jù)等腰三角形底邊三線合一性質(zhì)即可解題；
（2）易證∠DAH=90°，根據(jù)△ABD≌△ACH，可得∠BAD=∠CAH，根據(jù)∠CAH+∠CAD=90°即可求得∠BAC=90°，再根據(jù)AB=AC，即可求得∠ABC和∠ACB的大小，即可解題．

解答：證明：（1）延長(zhǎng)DM至H，使MH=MD，連接CH，AH，AD，

在△HMC和△DME中，

MH=MD ∠HMC=∠DME ME=MC

，
∴△HMC≌△DME（SAS），
∴DE=HC，∠HCM=∠DEM，
∴HC∥DF，
∴∠HCF=∠F，
又∵DE=DB，
∴HC=DB，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，
∵∠BDE=2∠ABC，
∴∠BDE=∠ACB+∠ABC，
∵∠ACB+∠ABC+∠BAC=180°，
∴∠BDE+∠BAC=180°，
∴∠F+∠ABD=180°，（四邊形內(nèi)角和為360°）
∴∠HCF+∠ABD=180°，
∵∠HCF+∠ACH=180°，
∴∠ABD=∠ACH，
在△ABD和△ACH中，

CH=BD ∠ABD=∠ACH AC=AB

，
∴△ABD≌△ACH（SAS），
∴AD=AH，
∵M(jìn)H=MD，
∴AM⊥DM（等腰三角形底邊三線合一）；
（2）∵AM=DM，
∴∠ADM=45°，
∴∠DAH=90°，
∵△ABD≌△ACH，
∴∠BAD=∠CAH，
∵∠CAH+∠CAD=90°，
∴∠CAD+∠BAD=90°，即∠BAC=90°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中求證△HMC≌△DME和△ABD≌△ACH是解題的關(guān)鍵．