Question

【題目】如圖，在直角坐標(biāo)系中，△ABC滿足∠BCA＝90°，AC＝BC＝，點(diǎn)A、C分別在x軸和y軸上，當(dāng)點(diǎn)A從原點(diǎn)開始沿x軸的正方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，則點(diǎn)C始終在y軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B始終在第一象限運(yùn)動(dòng)．

（1）當(dāng)AB∥y軸時(shí)，求B點(diǎn)坐標(biāo)．

（2）隨著A、C的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)B落在直線y＝3x上時(shí)，求此時(shí)A點(diǎn)的坐標(biāo)．

（3）在（2）的條件下，在y軸上是否存在點(diǎn)D，使以O、A、B、D為頂點(diǎn)的四邊形面積是4？如果存在，請直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)B坐標(biāo)為（，）（2）點(diǎn)A（2，0）；（3）存在點(diǎn)D，點(diǎn)D坐標(biāo)為（0，﹣1）或（0，2）.

【解析】

（1）根據(jù)勾股定理，可得AB的長，根據(jù)勾股定理，可得AO的長，可得B點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得BE＝OC＝x，EC＝OA＝x，根據(jù)勾股定理，可得x的長，可得A點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）分類討論：①D在y軸的正半軸上；②D在y軸的負(fù)半軸上，根據(jù)面積的和差，可得關(guān)于y的方程，根據(jù)解方程，可得答案．

（1）∵∠BCA＝90°，AC＝BC＝，

∴∠BAC＝45°，AB＝＝

∵AB∥y軸，

∴∠BAO＝90°＝∠COA

∴∠CAO＝45°＝∠OCA

∴CO＝AO

∵AO2+CO2＝AC2，

∴2AO2＝5

∴AO＝

∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（，）

（2）如圖，過點(diǎn)B，作BE⊥y軸，垂足為點(diǎn)E，

∵∠BCE+∠ACO＝90°，∠ACO+∠CAO＝90°

∴∠BCE＝∠CAO，且AC＝BC，∠BEO＝∠AOC

∴△AOC≌△CEB（AAS）

∴BE＝CO，AO＝CE

∵點(diǎn)B落在直線y＝3x上

∴設(shè)B（x，3x）

∴BE＝x＝OC，OE＝3x，

∴CE＝OA＝2x，

∵OA2+OC2＝AC2

∴（2x）2+x2＝5

∴x＝1

∴OA＝2x＝2

∴點(diǎn)A（2，0）

（3）設(shè)點(diǎn)D（0，y）

當(dāng)點(diǎn)D在y軸正半軸上，如圖，連接OB，

∵S四邊形ABDO＝S△AOB+S△BDO＝4

∴×y×1+×2×3＝4

∴y＝2

∴點(diǎn)D（0，2）

若點(diǎn)D在y軸負(fù)半軸上，如圖，連接OB，

∵S四邊形ABDO＝S△AOB+S△ADO＝4

∴×2×3+×2×（﹣y）＝4

∴y＝﹣1

∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（0，﹣1）.

∴存在點(diǎn)D，點(diǎn)D坐標(biāo)為（0，2）或（0，﹣1）.