Question

已知：，，以AB為一邊作正方形ABCD，使P、D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè)。

【小題1】（1）如圖，當(dāng)∠APB=45°時(shí)，求AB及PD的長(zhǎng)；
【小題2】（2）當(dāng)∠APB變化，且其它條件不變時(shí)，求PD 的最大值，及相應(yīng)∠APB 的大小。

Answer 1

【小題1】（1）①如圖11，作AE⊥PB于點(diǎn)E．
∵△APE中，∠APE=45°，，
∴，
                ．
∵，
∴．
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，
∴．…………1分
②解法一：如圖12，因?yàn)樗倪呅?i>ABCD為正方形，可將
△PAD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△，
可得△≌△，,．
∴=90°，=45°，=90°．
∴．分
∴．…………2分
              解法二：如圖13，過(guò)點(diǎn)P作AB的平行線，與DA的延長(zhǎng)線交于F，設(shè)DA的  延長(zhǎng)線交PB于G．
在Rt△AEG中，可得
，
，．
在Rt△PFG中，可得，．
在Rt△PDF中，可得
．
【小題2】（2）如圖14所示，將△PAD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△， PD 的最大值即為的最大值.
∵△中，，，，
且P、D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè)，
∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最大值（見(jiàn)圖15）.
此時(shí)，即的最大值為6. …………4分
       此時(shí)∠APB=180°－=135°. …………5分
 
 
 
 

解析