Question

已知矩形OABC的頂點O（0，0）、A（4，0）、B（4，3）．動點P從O出發(fā)，以每秒1個單位的速度，沿射線OB方向運動．設(shè)運動時間為t秒．
（1）求P點的坐標（用含t的代數(shù)式表示）；
（2）如圖，以P為一頂點的正方形PQMN的邊長為2，且邊PQ⊥y軸．設(shè)正方形PQMN與矩形OABC的公共部分面積為S，當正方形PQMN與矩形OABC無公共部分時，運動停止．
①當t＜4時，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
②當t＞4時，設(shè)直線MQ、MN分別交矩形OABC的邊BC、AB于D、E，問：是否存在這樣的t，使得△PDE為直角三角形？若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）設(shè)PN與x軸交于點D，先由矩形的性質(zhì)得出∠OAB=90°，在Rt△OAB中運用勾股定理求出OB=5，再由PD∥AB，得到△OPD∽△OBA，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出

OD

OA

=

PD

AB

=

OP

OB

，求得OD=

4t

5

，PD=

3t

5

，即可確定P點的坐標；
（2）①分三種情況進行討論：（i）當0＜t≤

5

2

時，設(shè)PQ與y軸交于點E，則S=S_矩形ODPE=OD•PD；（ii）當

5

2

＜t≤

10

3

時，設(shè)PN與x軸交于點D，QM與x軸交于點F，則S=S_矩形PQFD=PQ•PD；（iii）當

10

3

＜t＜4時，S=S_{正方形PQMN}；
②分三種情況進行討論：（i）當4＜t≤5時，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠DPE＞∠DBE=90°，則△PDE不可能為直角三角形；（ii）當t=5時，∠DPE=∠DBE=90°，此時，△PDE為直角三角形；（iii）當t＞5時，由于∠DPE＜∠DBE=90°，則當△PDE為直角三角形時，可能∠PDE=90°或者∠PED=90°．若∠PDE=90°，根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似得出△PQD∽△DME，得出PQ：DQ=DM：ME，列出關(guān)于t的方程，解方程即可；若∠PED=90°，則△PNE∽△EMD，根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似得出△PQD∽△DME，得出PQ：DQ=DM：ME，列出關(guān)于t的方程，解方程即可．

解答：解：（1）設(shè)PN與x軸交于點D，如圖1．
∵矩形OABC中，OA=4，AB=3，∠OAB=90°，
∴OB=

OA2+AB2

=5．
∵PD∥AB，
∴△OPD∽△OBA，
∴

OD

OA

=

PD

AB

=

OP

OB

，

OD

4

=

PD

3

=

t

5

，
∴OD=

4t

5

，PD=

3t

5

，
∴P點的坐標為（

4t

5

，

3t

5

）；

（2）①分三種情況：
（i）當0＜t≤

5

2

時，如圖1，設(shè)PQ與y軸交于點E，則S=S_矩形ODPE．
由（1）知OD=

4t

5

，PD=

3t

5

，
∴S=OD•PD=

4t

5

•

3t

5

=

12

25

t²；
（ii）當

5

2

＜t≤

10

3

時，如圖2，設(shè)PN與x軸交于點D，QM與x軸交于點F，則S=S_矩形PQFD．
∵PQ=2，PD=

3t

5

，
∴S=PQ•PD=2•

3t

5

=

6

5

t；
（iii）當

10

3

＜t＜4時，如圖3，S=S_{正方形PQMN}=2×2=4；
綜上所述，當t＜4時，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為S=

12 25 t2 (0＜t≤ 5 2 ) 6 5 t ( 5 2 ＜t≤ 10 3 ) 4 ( 10 3 ＜t＜4)

；


②由題意，知t＜5+2

2

．如圖5，分三種情況：
（i）當4＜t≤5時，
∵∠DPE＞∠DBE=90°，
∴△PDE不可能為直角三角形；
（ii）當t=5時，∠DPE=∠DBE=90°，此時，△PDE為直角三角形；
（iii）當t＞5時，
∵∠DPE＜∠DBE=90°，
∴當△PDE為直角三角形時，可能∠PDE=90°或者∠PED=90°．
若∠PDE=90°，則△PQD∽△DME，
∴PQ：DQ=DM：ME，即2：（

3

5

t-3）=（5-

3

5

t）：（6-

4

5

t），
整理，得9t²-160t+675=0，
解得t=

80±5 13

9

，
∵t＜5+2

2

，
∴t=

80-5 13

9

；
若∠PED=90°，則△PNE∽△EMD，
∴PN：NE=EM：MD，即2：（

4

5

t-4）=（6-

4

5

t）：（5-

3

5

t），
整理，得8t²-115t+425=0，
∵△=115²-4×8×425=-375＜0，
∴t無實數(shù)根，
綜上所述，所有符合條件的t的值為t=5或t=

80-5 13

9

．

點評：本題是關(guān)于動點問題的相似形綜合題，其中涉及到矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，圖形的面積等知識，綜合性較強，難度較大．在解決動點問題時，采用數(shù)形結(jié)合及分類討論的數(shù)學(xué)思想，能使問題形象直觀，從而有助于解題．