【題目】如圖1,在等腰直角△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,小敏將一塊三角板中含45°角的頂點(diǎn)放在A上,從AB邊開(kāi)始繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角α,其中三角板斜邊所在的直線交直線BC于點(diǎn)D,直角邊所在的直線交直線BC于點(diǎn)E

(1)小敏在線段BC上取一點(diǎn)M,連接AM,旋轉(zhuǎn)中發(fā)現(xiàn):若AD平分∠BAM,則AE也平分∠MAC.請(qǐng)你證明小敏發(fā)現(xiàn)的結(jié)論;

(2)當(dāng)0°<α≤45°時(shí),小敏在旋轉(zhuǎn)中還發(fā)現(xiàn)線段BDCE、DE之間存在如下等量關(guān)系:BD2+CE2=DE2.同組的小穎和小亮隨后想出了相同的方法進(jìn)行解決:將△ABD沿AD所在的直線對(duì)折得到△ADF(如圖2);請(qǐng)證明小敏的發(fā)現(xiàn)的是正確的.

【答案】見(jiàn)解析

【解析】試題分析:(1)如圖1,根據(jù)圖形、已知條件推知∠BAD+∠MAE=∠DAM+∠EAC=45°,所以∠MAE=∠EAC,即AE平分∠MAC;(2)小穎的方法是應(yīng)用折疊對(duì)稱的性質(zhì)和SAS得到△AEF≌△AEC,在Rt△OCE中應(yīng)用勾股定理而證明;小亮的方法是將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACG,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)用SAS得到△ACE≌△ACG,從而在Rt△CEG中應(yīng)用勾股定理而證明.

試題解析:1)證明:如圖1,∵∠BAC=90°

∴∠BAD+∠DAM+∠MAE+∠EAC=90°

∵∠DAE=45°,

∴∠BAD+∠EAC=45°

∵∠BAD=∠DAM,

∴∠BAD+∠EAC=∠DAM+∠EAC=45°,

∴∠BAD+∠MAE=∠DAM+∠EAC

∴∠MAE=∠EAC,即AE平分∠MAC

2)如圖2,連接EF

由折疊可知,∠BAD∠FAD,ABAF,BDDF

∵∠BAD∠FAD,

由(1)可知,∠CAE=∠FAE

△AEF△AEC中,

∵ AF=AC∠FAE=∠CAEAE=AE ,

∴△AEF≌△AECSAS),

∴CE=FE,∠AFE=∠C=45°

∴∠DFE∠AFD∠AFE90°

Rt△DFE中,DF2+FE2=DE2,

∴BD2+CE2=DE2. (利用旋轉(zhuǎn)的方法證明相應(yīng)給分)

練習(xí)冊(cè)系列答案
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⑴ 作△ABC關(guān)于直線MN的對(duì)稱圖形(不寫作法);

⑵ 以P為一個(gè)頂點(diǎn)作與△ABC全等的三角形(規(guī)定點(diǎn)P與點(diǎn)B對(duì)應(yīng),另兩頂點(diǎn)都在圖中網(wǎng)格交點(diǎn)處),則可作出 個(gè)三角形與△ABC全等.

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2)在圖2中畫2條線段,使圖中有4個(gè)等腰三角形;

3)繼續(xù)按以上操作發(fā)現(xiàn):在ABC中畫n條線段,則圖中有      個(gè)等腰三角形,其中有      個(gè)黃金等腰三角形.

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(1)畫出△ABC關(guān)于直線l的對(duì)稱的△A1B1C1

(2)畫出△ABC關(guān)于點(diǎn)P的中心對(duì)稱圖形△A2B2C2

(3)△A1B1C1與△A2B2C2組成的圖形_______________(是或否)軸對(duì)稱圖形,如果是軸對(duì)稱圖形,請(qǐng)畫出對(duì)稱軸.

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