Question

【題目】（本題14分）如圖，拋物線y=x2+x+c與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，連結(jié)AB，點(diǎn)C（6， ）在拋物線上，直線AC與y軸交于點(diǎn)D．

（1）求c的值及直線AC的函數(shù)表達(dá)式；

（2）點(diǎn)P在x軸正半軸上，點(diǎn)Q在y軸正半軸上，連結(jié)PQ與直線AC交于點(diǎn)M，連結(jié)MO并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)N，若M為PQ的中點(diǎn)．

①求證：△APM∽△AON；

②設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，求AN的長(zhǎng)（用含m的代數(shù)式表示）．

Answer 1

【答案】（1）c=﹣3， ；(2)①答案見(jiàn)解析，②

【解析】試題分析：（1）把C點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式可求得c的值，令y=0可求得A點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線AC的函數(shù)表達(dá)式；

（2）①在Rt△AOB和Rt△AOD中可求得∠OAB=∠OAD，在Rt△OPQ中可求得MP=MO，可求得∠MPO=∠MOP=∠AON，則可證得△APM∽△AON；

②過(guò)M作ME⊥x軸于點(diǎn)E，用m可表示出AE和AP，進(jìn)一步可表示出AM，利用△APM∽△AON可表示出AN．

（1）把C點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式可得，解得c=﹣3，∴拋物線解析式為，令y=0可得，解得x=﹣4或x=3，∴A（﹣4，0），設(shè)直線AC的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b（k≠0），把A、C坐標(biāo)代入可得： ，解得： ，∴直線AC的函數(shù)表達(dá)式為；

（2）①∵在Rt△AOB中，tan∠OAB= =，在RtAOD中，tan∠OAD==，∴∠OAB=∠OAD，∵在Rt△POQ中，M為PQ的中點(diǎn)，∴OM=MP，∴∠MOP=∠MPO，且∠MOP=∠AON，∴∠APM=∠AON，∴△APM∽△AON；

②如圖，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥x軸于點(diǎn)E，則OE=EP，∵點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，∴AE=m+4，AP=2m+4，∵tan∠OAD=，∴cos∠EAM=cos∠OAD=，∴=，∴AM=AE=，∵△APM∽△AON，∴，即，∴AN=．