Question

（2011•盧灣區(qū)一模）如圖，已知在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，AB⊥AC，CD⊥BD．
（1）求證：△AOD∽△BOC；
（2）若，S_△AOD=4，求S_△BOC的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由AB⊥AC，CD⊥BD，可得∠BAC=∠BDC=90°，又由對頂角相等，根據(jù)有兩角對應(yīng)相等的三角形相似，易得△AOB∽△DOC，即可得到比例線段，再由∠AOD=∠BOC，即可證得△AOD∽△BOC；
（2）由，可得，又由相似三角形的面積比等于相似比的平方，可求得S_△BOC的值．
解答：（1）證明：∵AB⊥AC，CD⊥BD，
∴∠BAC=∠BDC=90°，
又∵∠AOB=∠DOC，
∴△AOB∽△DOC，
∴，
∴，
又∵∠AOD=∠BOC，
∴△AOD∽△BOC；

（2）∵∠BAC=90°，，
∴，
∵△AOD∽△BOC，
∴，
∵S_△AOD=4，
∴，
∴S_△BOC=9．
點(diǎn)評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及三角函數(shù)的定義．解題時要注意相似三角形的面積比等于相似比的平方，有兩角對應(yīng)相等的三角形相似與有兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等三角形相似的性質(zhì)的應(yīng)用．