Question

如圖，已知反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（3，4）． 點(diǎn)B（6，0）為x軸正半軸上一點(diǎn)．
（1）求反比例函數(shù)解析式；
（2）在x軸上求一點(diǎn)C，使△ACB是以AB為底邊的等腰三角形；
（3）P（x，y）為反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象位于第一象限上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．令△OPB的面積為S，寫出S與x的函數(shù)解析式及定義域．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式即可算出k的值，進(jìn)而得到反比例函數(shù)解析式；
（2）作AB的垂直平分線，交AB于D，交x軸于點(diǎn)C，根據(jù)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)算出AB所在直線解析式為y=-

4

3

x+8和D點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)兩個(gè)一次函數(shù)圖象互相垂直時(shí)，k的積為-1可設(shè)C、D所在直線解析式y(tǒng)=

3

4

x+a，再代入D點(diǎn)坐標(biāo)即可算出C、D所在直線解析式，然后計(jì)算出一次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)即可；
（3）根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可．

解答：解：（1）∵反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（3，4），
∴k=xy=3×4=12，
∴反比例函數(shù)解析式為y=

12

x

；

（2）∵在x軸上求一點(diǎn)C，使△ACB是以AB為底邊的等腰三角形，
∴作AB的垂直平分線，交AB于D，交x軸于點(diǎn)C，
∵A（3，4），B（6，0），
∴D（

3+6

2

，

4+0

2

），
即：D（4.5，2），
設(shè)A、B所在直線解析式為y=kx+b（k≠0），

3k+b=4 6k+b=0

，
解得

k=- 4 3 b=8

，
∴A、B所在直線解析式為y=-

4

3

x+8，
∵CD⊥AB，
∴設(shè)C、D所在直線解析式為y=

3

4

x+a，
∵D（4.5，2），
∴

3

4

×4.5+a=2，
解得：a=-

11

8

，
∴C、D所在直線解析式為y=

3

4

x-

11

8

，
當(dāng)y=0時(shí)，0=

3

4

x-

11

8

，
解得：x=

11

6

，
∴C（

11

6

，0）；

（3）∵P（x，y）為反比例函數(shù)y=

12

x

的圖象位于第一象限上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
∴△OPB的面積S=

1

2

×BO×y=

1

2

×6×y=3y=3×

12

x

=

36

x

（x＞0）．

點(diǎn)評：此題主要考查了反比例函數(shù)的綜合運(yùn)用，關(guān)鍵是計(jì)算出AB的直線解析式，掌握兩個(gè)一次函數(shù)圖象互相垂直時(shí)，k的積為-1．