Question

如圖，點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，△ACM、△CBN是等邊三角形，直線AN、MC交于點(diǎn)E，直線BM、CN交于點(diǎn)F．
（1）求證：AN=MB；
（2）求證：△CEF為等邊三角形；
（3）將△ACM繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，其他條件不變，在（2）中畫出符合要求的圖形，并判斷（1）（2）題中的兩結(jié)論是否依然成立．并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）可通過全等三角形來得出簡(jiǎn)單的線段相等，證明AN=BM，只要求出三角形ACN和MCB全等即可，這兩個(gè)三角形中，已知的條件有AC=MC，NC=CB，只要證明這兩組對(duì)應(yīng)邊的夾角相等即可，我們發(fā)現(xiàn)∠ACN和∠MCB都是等邊三角形的外角，因此它們都是120°，這樣就能得出兩三角形全等了．也就證出了AN=BM．
（2）我們不難發(fā)現(xiàn)∠ECF=180-60-60=60°，因此只要我們?cè)僮C得兩條邊相等即可得出三角形ECF是等邊三角形，可從EC，CF入手，由（1）的全等三角形我們知道，∠MAC=∠BMC，又知道了AC=MC，∠MCF=∠ACE=60°，那么此時(shí)三角形AEC≌三角形MCF，可得出CF=CE，于是我們?cè)俑鶕?jù)∠ECF=60°，便可得出三角形ECF是等邊三角形的結(jié)論．
（3）判定結(jié)論1是否正確，也是通過證明三角形ACN和BCM來求得．這兩個(gè)三角形中MC=AC，NC=BC，∠MCB和∠ACN都是60°+∠ACB，因此兩三角形就全等，AN=BM，結(jié)論1正確．如圖，當(dāng)把MC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，AC也旋轉(zhuǎn)了90°，因此∠ACB=90°，很顯然∠FCE＞90°，因此三角形FCE絕對(duì)不可能是等邊三角形．

解答：證明：（1）∵△ACM，△CBN是等邊三角形，
∴AC=MC，BC=NC，∠ACM=60°，∠NCB=60°，
在△CAN和△MCB中，

AC=MC ∠ACN=∠MCB NC=BC

，
∴△CAN≌△MCB（SAS），
∴AN=BM．

（2）∵△CAN≌△MCB，
∴∠CAN=∠CMB，
又∵∠MCF=180°-∠ACM-∠NCB=180°-60°-60°=60°，
∴∠MCF=∠ACE，
在△CAE和△CMF中，

∠CAE=∠CMF CA=CM ∠ACE=∠MCF

，
∴△CAE≌△CMF（ASA），
∴CE=CF，
∴△CEF為等腰三角形，
又∵∠ECF=60°，
∴△CEF為等邊三角形．

（3）解：連接AN，BM，
∵△ACM、△CBN是等邊三角形，
∴AC=MC，BC=CN，∠ACM=∠BCN=60°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACN=∠MCB，
在△ACN和△MCB中，

AC=CM ∠ACN=∠MCB BC=CN

，
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴AN=MB．
當(dāng)把MC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，AC也旋轉(zhuǎn)了90°，因此∠ACB=90°，很顯然∠FCE＞90°，因此三角形FCE絕對(duì)不可能是等邊三角形，
即結(jié)論1成立，結(jié)論2不成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，利用全等三角形來得出角和邊相等是解題的關(guān)鍵．