Question

如圖，四邊形ABCD為平行四邊形紙片．把紙片ABCD折疊，使點B恰好落在CD邊上，折痕為AF．且AB=10cm、AD=8cm、DE=6cm．
（1）求證：平行四邊形ABCD是矩形；
（2）求BF的長；
（3）求折痕AF長．

Answer 1

（1）證明：∵把紙片ABCD折疊，使點B恰好落在CD邊上，
∴AE=AB=10，AE²=10²=100，
又∵AD²+DE²=8²+6²=100，
∴AD²+DE²=AE²，
∴△ADE是直角三角形，且∠D=90°，
又∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴平行四邊形ABCD是矩形（有一個角是直角的平行四邊形是矩形）；

（2）解：設(shè)BF=x，則EF=BF=x，EC=CD-DE=10-6=4cm，F(xiàn)C=BC-BF=8-x，
在Rt△EFC中，EC²+FC²=EF²，
即4²+（8-x）²=x²，
解得x=5，
故BF=5cm；

（3）解：在Rt△ABF中，由勾股定理得，AB²+BF²=AF²，
∵AB=10cm，BF=5cm，
∴AF==5cm．
分析：（1）根據(jù)翻折變換的對稱性可知AE=AB，在△ADE中，利用勾股定理逆定理證明三角形為直角三角形，再根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形證明即可；
（2）設(shè)BF為x，分別表示出EF、EC、FC，然后在△EFC中利用勾股定理列式進(jìn)行計算即可；
（3）在Rt△ABF中，利用勾股定理求解即可．
點評：本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定，勾股定理，以及翻折變換前后的兩個圖形全等的性質(zhì)，是綜合題，但難度不大．