Question

如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AC⊥BD于點(diǎn)E，若AB=8，CD=6，則⊙O的半徑是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：垂徑定理,勾股定理

專題：計(jì)算題

分析：作OH⊥AB于H，OF⊥CD于F，連結(jié)OA、OC，如圖，根據(jù)垂徑定理得AH=

1

2

AB=4，DF=

1

2

CD=3，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠AOH=

1

2

∠AOB，∠DOF=

1

2

∠DOC，
而根據(jù)圓周角定理得到∠ACB=

1

2

∠AOB，∠DBC=

1

2

∠DOC，則∠AOH=∠ACB，∠DOF=∠DBC，再利用∠ACB+∠DBC=90°得到∠AOH+∠DOF=90°，于是根據(jù)等角的余角相等得∠OAH=∠DOF，則根據(jù)“AAS”可判斷△AOH≌△ODF，所以O(shè)H=DF=3，然后在Rt△AOH中根據(jù)勾股定理計(jì)算OA．

解答：解：作OH⊥AB于H，OF⊥CD于F，連結(jié)OA、OC，如圖，
∵OH⊥AB，OF⊥CD，
∴AH=BH=

1

2

AB=4，DF=CF=

1

2

CD=3，
∴∠AOH=

1

2

∠AOB，∠DOF=

1

2

∠DOC，
∵∠ACB=

1

2

∠AOB，∠DBC=

1

2

∠DOC，
∴∠AOH=∠ACB，∠DOF=∠DBC，
∵AC⊥BD，
∴∠ACB+∠DBC=90°，
∴∠AOH+∠DOF=90°，
而∠AOH+∠OAH=90°，
∴∠OAH=∠DOF，
在△AOH和△ODF中，

∠AHO=∠OFD ∠OAH=DOF AO=OD

，
∴△AOH≌△ODF（AAS），
∴OH=DF=3，
在Rt△AOH中，∵OH=3，AH=4，
∴OA=

OH2+AH2

=5，
即⊙O的半徑是5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條�。�也考查了勾股定理、圓周角定理和全等三角形的判定與性質(zhì)．