Question

如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD，E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，EF與BD相交于點(diǎn)M
（1）求證：；
（2）若BD=9，求BM的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：∵E是AB的中點(diǎn)，
∴AB=2EB，又AB=2CD，
∴DC=EB，又DC∥EB，
∴四邊形DCBE為平行四邊形，
∴FB∥DE，
∴∠BFM=∠DEM，∠FBM=∠EDM，
∴△FMB∽△EMD，
∴；

（2）解：由F為BC的中點(diǎn)，得到BC=2FB，
又四邊形DCBE為平行四邊形，得到DE=BC，
則DE=2FB，即FB：DE=1：2，
∴△FMB與△EMD的相似比為1：2，
即DM：MB=2：1，又BD=9，
設(shè)DM=2k，MB=k，
所以BD=BM+MD=k+2k=9，解得k=3，
則BM=3．
分析：（1）由E為AB中點(diǎn)，得到AB=2EB，又AB=2DC，等量代換得到DC=EB，又DC與EB平行，根據(jù)一對(duì)對(duì)邊平行且相等的四邊形為平行四邊形可得DCBE為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行可得FB與DE平行，由兩直線(xiàn)平行得兩對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，從而根據(jù)兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似可得三角形EDM與三角形FMB相似，根據(jù)相似得比例可得證；
（2）由F為BC的中點(diǎn)，得到BC=2FB，又由（1）得到的四邊形BCDE為平行四邊形，可得對(duì)邊BC=ED，等量代換可得DE=2FB，由（1）得到的三角形EDM與三角形FMB相似，可得相似比為2：1，即得到DM：MB=2：1，設(shè)出DM=2k與MB=k，根據(jù)BD的長(zhǎng)列出關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，從而得到BM的長(zhǎng)．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，以及比例的性質(zhì)，要證明比例問(wèn)題常常把各邊放入兩三角形中，利用相似解決問(wèn)題，證明相似的方法有：兩對(duì)對(duì)應(yīng)邊相等的兩三角形相似；兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩三角形相似；三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩三角形相似等，此外學(xué)生在做第二問(wèn)時(shí)要注意借助已證的結(jié)論．