【題目】如圖,拋物線過O、A、B三點(diǎn),A(4,0)B(1,-3),P為拋物線上一點(diǎn),過點(diǎn)P的直線y=x+m與對稱軸交于點(diǎn)Q.
(1)直線PQ與x軸所夾銳角的度數(shù),并求出拋物線的解析式.
(2)當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方的拋物線上時,過點(diǎn)C(2,2)的直線AC與直線PQ交于點(diǎn)D,求: PD+DQ的最大值;②PD.DQ的最大值.
【答案】(1)直線PQ與x軸所夾銳角的度數(shù)為45°,拋物線的解析式為y=x-4x;(2) ①PD+DQ的最大值為6;②PD·DQ的最大值為18.
【解析】
(1)根據(jù)直線的解析式求得直線PQ與x軸所夾銳角的度數(shù),根據(jù)拋物線過O、A、B三點(diǎn)可求得解析式;
(2)①過點(diǎn)C作CH∥x軸交直線PQ于點(diǎn)H,可得△CHQ是等腰三角形,進(jìn)而得出AD⊥PH,得出DQ=DH,從而得出PD+DQ=PH,過P點(diǎn)作PM⊥CH于點(diǎn)M,則△PMH是等腰直角三角形,得出PH=PM,因為當(dāng)PM最大時,PH最大,通過求得PM的最大值,從而求得PH的最大值;
②由①可知:PD+PH≤6,設(shè)PD=a,則DQ≤6-a,得出PDDQ≤a(6-a)=-a2+6a=-(a-3)2+18,當(dāng)點(diǎn)P在拋物線的頂點(diǎn)時,a=3,得出PDDQ≤18.
(1)對于直線y=x+m,
∵k=1>0,
∴直線PQ與x軸所夾銳角的度數(shù)為45°,
∵拋物線拋物線經(jīng)過點(diǎn)O,
∴設(shè)拋物線的解析式為y=ax+bx,把A(4,0)B(1,-3)代入得
,解得,
∴拋物線的解析式為y=x-4x.
(2) ①如圖所示,過點(diǎn)C作CH∥x軸交直線PQ于點(diǎn)H,所以△CHQ是等腰三角形.
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,2).
∴∠ACQ=45°,
∵∠CDQ=45°+45°=90°,
∴AD⊥PH,
故DQ=DH,
∴PD+DQ=PD+DH=PH.
過點(diǎn)P作PM⊥CH于點(diǎn)M,
則△PMH為等腰直角三角形,
∴PH=PM,
當(dāng)PM最大時,PH最大,
∴當(dāng)點(diǎn)P在拋物線頂點(diǎn)處時PM取最大值,此時PM=6,
∴PH的最大值為6,即PD+DQ的最大值為6;
②由①可知PD+DQ≤6,
設(shè)PD=a,則DQ≤6-a.
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(n,n-4n),
設(shè)AC/span>的解析式為y=kx+b,
將點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得,解得,
則直線AC的解析式為y=-x+4,
如圖所示,延長PM交AC于點(diǎn)N,
∴PD=a=PN=[4-n-(n-4n)]=-(n-3n-4)=- (n-)+ ,
又∵-<0,0<n<4,
∴當(dāng)n=時,PD有最大值為,即0<a≤.
∵PD·DQ≤a(6-a)=-a+6a=-(a-3)+18.
故當(dāng)點(diǎn)P在拋物線的頂點(diǎn)時,a=3,
∵0<3<,
∴PDDQ的最大值為18.
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【題目】二次函數(shù)(,為常數(shù),)的圖象記為L.
(1)若=1,=3,求圖象L的頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)若圖象L過點(diǎn)(4,1),且2≤a≤5,求的最大值;
(3)若,點(diǎn),在圖象L上,當(dāng)時,恒成立,求的取值范圍.
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(1)求證:PC是⊙O的切線;
(2)若∠P=60°,PC=2,求PE的長.
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【題目】如圖,正方形ABCD中,E、F分別是邊BC,CD上一點(diǎn),∠EAF=45°.將△ABE繞著點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADG,連接EF,求證EF=FG.
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【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)中的x和y滿足下表:
x | … | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | … |
y | … | 3 | 0 | -1 | 0 | m | 8 | … |
(1)可求得m的值為________;
(2)在坐標(biāo)系畫出該函數(shù)的圖象;
(3)當(dāng)y≥0時,x的取值范圍為_____________
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【題目】已知⊙中,為直徑,、分別切⊙于點(diǎn)、.
(1)如圖①,若,求的大。
(2)如圖②,過點(diǎn)作∥,交于點(diǎn),交⊙于點(diǎn),若,求的大。
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【題目】如圖(1)所示,E為矩形ABCD的邊AD上一點(diǎn),動點(diǎn)P,Q同時從點(diǎn)B出發(fā),點(diǎn)P沿折線BE-ED-DC運(yùn)動到點(diǎn)C時停止,點(diǎn)Q沿BC運(yùn)動到點(diǎn)C時停止,它們運(yùn)動的速度都是1cm/秒.設(shè)P、Q同時出發(fā)t秒時,△BPQ的面積為ycm2.已知y與t的函數(shù)關(guān)系圖象如圖(2)(曲線OM為拋物線的一部分),則下列結(jié)論:①AD=BE=5;②;③當(dāng)0<t≤5時,;④當(dāng)秒時,△ABE∽△QBP;其中正確的結(jié)論是( )
A. ①②③B. ②③C. ①③④D. ②④
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【題目】如圖是拋物線型拱橋,當(dāng)拱頂離水面時,水面寬為.當(dāng)水面上升時達(dá)到警戒水位,此時拱橋內(nèi)的水面寬度是多少?
下面給出了解決這個問題的兩種方法,請補(bǔ)充完整:
方法一:如圖1.以點(diǎn)為原點(diǎn),所在直線為軸,建立平面直角坐標(biāo)系,此時點(diǎn)的坐標(biāo)為_______,拋物線的項點(diǎn)坐標(biāo)為_______,可求這條拋物線所表示的二次函數(shù)解析式為_______.當(dāng)時,求出此時自變量的取值,即可解決這個問題.
方法二:如圖2,以拋物線頂點(diǎn)為原點(diǎn),對稱軸為軸.建立平面直角坐標(biāo)系,這時這條拋物線所表示的二次函數(shù)的解析式為_______,當(dāng)水面達(dá)到警戒水位,即_______時,求出此時自變量的取值為_______,從而得水面寬為.
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