Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-分別與x軸、y軸交于點A、B，且點A的坐標為（8，0），四邊形ABCD是正方形．

（1）填空：b=______；
（2）求點D的坐標；
（3）點M是線段AB上的一個動點（點A、B除外），試探索在x上方是否存在另一個點N，使得以O(shè)、B、M、N為頂點的四邊形是菱形？若不存在，請說明理由；若存在，請求出點N的坐標．

Answer 1

解：（1）∵直線y=-分別與x軸、y軸交于點A、B，且點A的坐標為（8，0），
∴-×8+b=0，
解得：b=6，；

（2）如圖1，過點D作DE⊥x軸于點E，
則∠AOB=∠DEA=90°，
∴∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90，
∴∠1=∠3，
又∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=DA，
∵在△AOB和△DEA中，

∴△AOB≌△DEA（AAS），
∴OA=DE=8，OB=AE=6，
∴OE=OA+AE=8+6=14，
∴點D的坐標為（14，8）；

（3）存在．
①如圖2，當OM=MB=BN=NO時，四邊形OMBN為菱形．連接NM，交OB于點P，則NM與OB互相垂直平分，
∴OP=OB=3，
∴當y=3時，-x+6=3，
解得：x=4，
∴點M的坐標為（4，3），
∴點N的坐標為（-4，3）．
②如圖3，當OB=BN=NM=MO=6時，四邊形BOMN為菱形．延長NM交x軸于點P，則MP⊥x軸．
∵點M在直線y=-x+6上，
∴設(shè)點M的坐標為（a，-a+6）（a＞0），
在Rt△OPM中，OP²+PM²=OM²，
即：a²+（-a+6）²=6²，
整理得：a²-9a=0，
∵a＞0，
∴a-9=0，
解得：a=，
∴點M的坐標為（，），
∴點N的坐標為（，）．
綜上所述，x軸上方的點N有兩個，分別為（，）和（-4，3）．
故答案為：6．
分析：（1）由直線y=-分別與x軸、y軸交于點A、B，且點A的坐標為（8，0），即可求得b的值；
（2）首先過點D作DE⊥x軸于點E，易證得△AOB≌△DEA，則可求得DE與AE的長，繼而可求得點D的坐標；
（3）分別從當OM=MB=BN=NO時，四邊形OMBN為菱形與當OB=BN=NM=MO=6時，四邊形BOMN為菱形去分析求解即可求得答案．
點評：此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)以及勾股定理．此題難度較大，注意掌握方程思想、分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．