Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，P為對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，以P為直角頂點(diǎn)作Rt△PMN交直線CD于點(diǎn)N，交直線BC于點(diǎn)M，

（1）如圖1，若點(diǎn)P與對(duì)角線交點(diǎn)O重合時(shí)，求證：PM=PN．

（2）如圖2，若點(diǎn)P為線段OD中點(diǎn)時(shí)，

①求證：BM+3DN=3；

②如圖3，當(dāng)M點(diǎn)在線段CB延長(zhǎng)線上，且點(diǎn)N使得3CN=DN，MN分別交AB，BD于E，F，求線段EF的長(zhǎng)（直接寫(xiě)出答案）．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①見(jiàn)解析；② .

【解析】

（1）根據(jù)∠MPC=∠NPD，CP=DP，∠PCM=∠PDN=45°，判定△PCM≌△PDN，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，即可得出PM=PN；
（2）如圖2，過(guò)P作PQ⊥BD，交CD于Q，則∠BPQ=90°，由△MPB∽△NPQ，可得=3，BM=3NQ，由PQ∥OC，點(diǎn)P為線段OD的中點(diǎn)，推出點(diǎn)Q為CD的中點(diǎn)，推出CQ=BC=1，推出DN+NQ=1，可得DN+BM=1，由此即可解決問(wèn)題．
（3）過(guò)P作PQ⊥BD，交CD于Q，判定△PBM∽△PQN，得到，根據(jù)BM=3NQ，求得CN，BM，ME以及EN的長(zhǎng)，再根據(jù)△MBE∽△MCN，△BEF∽△DNF，即可得出EN的長(zhǎng)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到線段EF的長(zhǎng)．

解：（1）如圖1中，

依題意得，∠MPN=∠CPD=90°，

∴∠MPC=∠NPD，

又∵正方形ABCD中，AC、BD交于點(diǎn)O，

∴CP=DP，∠PCM=∠PDN=45°，

在△PCM和△PDN中，

，

∴△PCM≌△PDN（ASA），

∴PM=PN；

（2）①證明：如圖2，過(guò)P作PQ⊥BD，交CD于Q，則∠BPQ=90°，

∴∠PQD=∠PBM=45°，

依題意得，∠MPN=∠QPD=90°，

∴∠MPB=∠NPQ，

∴△MPB∽△NPQ，

∴，

∵點(diǎn)P為線段OD的中點(diǎn)，OB=OD，

∴BP=3PD，

∵PD=PQ，

∴PB=3PQ，

∴，即BM=3NQ，

∵PQ∥OC，點(diǎn)P為線段OD的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)Q為CD的中點(diǎn)，

∴CQ=BC=1，

∴DN+NQ=1，

∴DN+ BM=1，

∴BM+3DN=3．

②如圖3，過(guò)P作PQ⊥BD，交CD于Q，則∠BPQ=∠MPN=90°，∠PQD=45°，

∴∠MPB=∠NPQ，
∵∠PQD=∠PBC=45°，
∴∠PBM=∠PQN=135°，
∴△PBM∽△PQN，
∴，
又∵點(diǎn)P為線段OD的中點(diǎn)，
∴PD=PB=PQ，
∴，即BM=3NQ，
∵CN=DN=CD=，
∴DN=，
∵PQ∥OC，P為線段OD的中點(diǎn)，
∴Q為CD的中點(diǎn)，
∴DQ=CQ=CD=1，
∴NQ=1-=，
∴BM=3NQ=，CM=+2=，
∴Rt△CMN中，MN=，
∵EB∥NC，
∴△MBE∽△MCN，△BEF∽△DNF，
∴，即，
∴BE=，ME=，
∴EN=MN-ME=，
∵，
∴，
解得EF=.

故答案為：（1）見(jiàn)解析；（2）①見(jiàn)解析；② .