Question

在△ABC中，AB=AC，∠BAC=（），將線段BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BD。

（1）如圖1，直接寫出∠ABD的大�。ㄓ煤�的式子表示）；

（2）如圖2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判斷△ABE的形狀并加以證明；

（3）在（2）的條件下，連結(jié)DE，若∠DEC=45°，求的值。

 

Answer 1

【答案】

（1）∠ABD=30°-α，詳見解析；（2）△ABE是等邊三角形，詳見解析；（3）α=30°，詳見解析；

【解析】

試題分析：（1）先由三角形內(nèi)角和為180度和等腰三角形底角相等，得出∠ABC=90°-α，再用∠ABC—∠DBC可得∠ABD的度數(shù)；

（2）連接AD、CD、ED，由∠ABE=∠DBC=60°可得∠EBC=∠DBA=30°-α，在△CBE中由三角形內(nèi)角和是180度，得到∠CEB=α，由SSS可得△ABD≌△ACD得到∠BAD=∠CAD=α，所以∠BAD=∠CEB，由AAS可得△ABD≌△EBC從而得到AB=EB，最后根據(jù)“有一個(gè)角是60度的等腰三角形是等邊三角形”得到△ABE是等邊三角形；

（3）∠DCE=∠BCE-∠BCD=90°，若∠DEC=45°則∠CDE=45°得到DC=CE，由（1）知BD=CD，∠DBC=60°所以△DBC是等邊三角形得到BC=DC，所以BC=CE，由等邊對(duì)等角得到∠EBC=∠BEC即30°-α=α，解得α=30° .

試題解析：（1）∵AB=AC

∴∠ABC=∠ACB

∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∠BAC=α

∴∠ABC=90°-α

∵∠ABC=∠ABD+∠DBC，且∠DBC=60°

∴∠ABD=30°-α

（2）△ABE是等邊三角形。證明如下：

連接AD、CD、ED

∵BC=BD，∠DBC=60°

∴△BCD是等邊三角形

∴BD=CD

∵AB=AC，AD=AD

∴△ABD≌△ACD

∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=α

∠ACD=∠ABD=30°-α

∵∠ABE=∠DBC=60°

∴∠DBE+∠ABD=∠DBE+∠CBE

∴∠CBE=∠ABD=30°-α

∵∠BCE=150°

∴∠BEC=180°-∠BCE-∠CBE=α

∴∠BEC=∠BAD=α

∵BC=BD

∴△ABD≌△EBC（AAS）

∴AB=EB

∴△ABE是等腰三角形

∵∠ABE=60°

∴△ABE是等邊三角形

（3）∵∠BCE=150°，∠BCD=60°

∴∠DCE=∠BCE-∠BCD=90°

∵∠DEC=45°

∴△DCE是等腰直角三角形

∴CE=CD

∵BC=CD

∴BC=CE

∴∠CBE=∠BEC

∵由(2)知，∠CBE=30°-α，∠BEC=α

∴30°-α=α

∴α=30° .

考點(diǎn)：1、旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)；2、全等三角形的判定；3、等腰三角形的性質(zhì).