Question

【題目】拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－4，0)，B(2，0)且與軸交于點(diǎn)C．

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1，P為線段AC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作軸平行線，交拋物線于點(diǎn)D，當(dāng)△ADC的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)如圖2，拋物線頂點(diǎn)為E，EF⊥x軸子F點(diǎn)，M、N分別是軸和線段EF上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)M的坐標(biāo)為(m，0)，若∠MNC＝90°，請(qǐng)指出實(shí)數(shù)m的變化范圍，并說(shuō)明理由．

圖1 圖2

Answer 1

【答案】（1）y=x2+2x﹣8；（2）（﹣2，﹣4）；（3）﹣10≤m≤15

【解析】試題分析：（1）只需用待定系數(shù)法就可求出拋物線的解析式；

（2）可用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y=-2x-8，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，-2a-8），則點(diǎn)D（a，a2+2a-8），（-4＜a＜0），然后用割補(bǔ)法求得S△ADC=-2（a+2）2+8，從而可求出△ADC的面積最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）易求得OF=1、EF=9、OC=8．設(shè)FN=n，（0≤n≤9），然后分三種情況（Ⅰ．M與點(diǎn)F重合，Ⅱ．M在點(diǎn)F左側(cè)，Ⅲ．M在點(diǎn)F右側(cè)）討論，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)均可得到m=-n2+8n-1（0≤n≤9）．由m=-n2+8n-1=-（n-4）2+15可得到m最大值為15，再由n=0時(shí)m=-1，n=9時(shí)m=-10可得m最小值為-10，從而可得到m的取值范圍．

解：（1）∵拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣4，0），B（2，0），

∴ ，

解得 ．

∴拋物線的解析式為y=x2+2x﹣8．

（2）如圖1，

令x=0，得y=﹣8，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣8）．

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+t，

則，

解得：，

∴直線AC的解析式為y=﹣2x﹣8．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，﹣2a﹣8），則點(diǎn)D（a，a2+2a﹣8），（﹣4＜a＜0），

∴PD=（﹣2a﹣8）﹣（a2+2a﹣8）=﹣a2﹣4a，

∴S△ADC=S△APD+S△CPD

=PD[a﹣（﹣4）]+PD（0﹣a）

=2PD=﹣2（a2+4a）

=﹣2（a+2）2+8，

∴當(dāng)a=﹣2時(shí)，S△ADC取到最大值為8，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，﹣4）．

（3）由y=x2+2x﹣8=（x+1）2﹣9得E（﹣1，﹣9）、C（0，﹣8），

則有OF=1、EF=9、OC=8．

設(shè)FN=n，（0≤n≤9），

Ⅰ．當(dāng)M與點(diǎn)F重合時(shí)，此時(shí)m=﹣1，n=8，顯然成立；

Ⅱ．當(dāng)M在點(diǎn)F左側(cè)，作NQ⊥y軸于點(diǎn)Q，如圖2①，此時(shí)m＜﹣1．

∵∠MNC=∠FNQ=90°，∴∠MNF=∠CNQ．

∵∠MFN=∠CQN=90°，

∴△MFN∽△CQN，

∴=，

∴=，

∴m=﹣n2+8n﹣1．

Ⅲ．當(dāng)M在點(diǎn)F右側(cè)，作NQ′⊥y軸于點(diǎn)Q′，如圖2②，此時(shí)m＞﹣1．

∵∠MNC=∠FNQ′=90°，∴∠MNF=∠CNQ′．

∵∠MFN=∠CQ′N=90°，

∴△MFN∽△CQ′N，

∴=，

∴=，

∴m=﹣n2+8n﹣1．

綜上所述：m=﹣n2+8n﹣1，（0≤n≤9）．

∴m=﹣n2+8n﹣1=﹣（n﹣4）2+15，

∴當(dāng)n=4時(shí)，m取到最大值為15．

∵n=0時(shí)m=﹣1，n=9時(shí)m=﹣10，

∴m取到最小值為﹣10，

∴m的取值范圍是﹣10≤m≤15．